Matematik

Areal af ellipse

11. april 2022 af MajaXm - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, 

hvordan finder man arealet af denne nemmest? 

Kan ikke finde ud af at omskrive den til den rette form, når der indgår et led med xy. 

Den skal regnes i hånden. 

På forhånd tak for hjælpen:))


Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2022 af janhaa

Area = pi*a*b


Brugbart svar (0)

Svar #2
11. april 2022 af SauIGoodman


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april 2022 af SauIGoodman

Tricky opgave... Ellipsen er på formen

ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0

Arealet af en roteret ellipse er,

A=\frac{L\pi}{(ab-c^2)^{3/2}}

Her er,

L=ae^2 + bd^2 + fc^2 - 2cde-abf

I dit eksempel er

a=5/2,b=5/2,c=-3/2,d=0,e=0,f=-1.

Dermed kan vi regne L. En lille udregning giver os, at L=4. Dermed er arealet

A=\frac{4\pi }{(\frac{5}{2}\cdot \frac{5}{2}-(-\frac{3}{2}))^{3/2}}=\frac{4\pi }{4^{3/2}}=\frac{4\pi}{4\cdot {4^{1/2}}}=\frac{\pi}{2}.


Brugbart svar (1)

Svar #4
12. april 2022 af oppenede

x og y indgår symmetrisk i ligningen. Når du bytter om på x og y svarer det til en spejling i linjen y=x, dvs. hele ellipsen er symmetrisk ift. den linje, hvorfor ellipsens akser er parallelle med y=x og y=-x.

Hvis du erstatter x og y med -x og -y forbliver ligningen den samme. Dvs. (x,y) kun tilhører ellipsen hvis (-x,-y) også gør det, hvilket svarer til at centrum er (0, 0).

Halvakselængderne er derfor afstanden fra (0,0) til (x,x) og (x,-x) for passende værdier af x.

Når (x, ±x) indsættes i ligningen giver det
   5x2 ± 3x2 = 1
dvs.  x = 1/√2  ∨  x = 1/√8

Længderne fra (0,0) til (x,±x) er så
   √(2 (1/√2)2)   og  √(2 (1/√8)2)

Og arealet er  A = π·√(2 (1/√2)2)·√(2 (1/√8)2) = π/2


Brugbart svar (0)

Svar #5
12. april 2022 af SauIGoodman

Okay godt set alligevel i #4
Flot forklaring og løsning.

Brugbart svar (1)

Svar #6
12. april 2022 af SuneChr

Og, hvis vi gætter på, at en drejning på -\frac{\pi }{4} af koordinatsystemet, f,  vil bringe ellipsen over i en lidt
mere spiselig visualisering:
                                                     f\binom{x}{y}\, =\, \binom{\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y}{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y}\: \: \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}
Rettelse:  x og y skal naturligvis ikke forekomme i matrixen, beklager.

       


Skriv et svar til: Areal af ellipse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.