Kontinuitet

En funktion må, selv sagt, være defineret for at kunne være kontinuert. En kontinuert funktion, som ikke ville være defineret, giver ingen mening.
Kontinuitetsbetingelsen sikrer, at hvor snævert et afbildet interval end er, vil intervallet, der afbilder dette, være endnu snævrere.

Så sagt på en anden måde, da fortæller kontinuitetsbetingelsen at hvis denne er opfyldt, så vil kurven være sammenhængende i det givne interval , hvilket sikrer at funktionen ikke kan have spring eller knæk?

Funktionen kan godt have et knæk og alligevel være kontinuert i punktet, hvor funktionen knækker.
Men den er ikke differentiabel i dette punkt.
Omvendt vil funktionen også være kontinuert, hvis den er differentiabel.

Hej SuneChr,

Man kan vel sige at hvis kontinuitetsbetingelsen er opfyldt, så er der overensstemmelse mellem funktionsværdien f(a) og grænseværdien for x gående mod a

Som baggrund tænkes der på en diskontinuert funktion med spring, hvor grænseværdien er forskellig, alt afhængighed af om man kommer fra højre eller venstre side.

Eller det vel forkert, fordi kontinuitetsbetingelsen sikrer vel at at man kan finde uendeligt små værdier som går at afbildningsværdierne forløber uden spring.

Kan nogen bekræfte dette?

Bruger du Wierstrass/Jordans epsilon delta definitionen, eller limit definitionen? Det skal gælde fra begge sider.

Den her funktion er f.eks ikke kontinuært:

Bruger wierstrass/jordan

#7 Det lyder som om du bruger begge, dvs.

Defintion 1                                                                                                                                                           ^{En funktion   er kontinuert i et punkt   hvis der gælder, at}                                            

Definition 2                                                                                                                                                          ^{En funktion  er kontinuert i et punkt  hvis der gælder, at}                                                       

Men du sigter efter en dybere forståelse af begrebet kontinuitet...Det kan måske være en god ide at undersøge de enkelte bestanddele i en definition og ændre (eller udelade) dem og se hvad der sker.

Det er afgørende vigtigt, Def. 1, at læse kvantorerne rigtigt:
∀ε > 0 ∃ δ > 0  betyder ikke, at der til alle ε skal påvises (i alt) mindst ét δ > 0 ,
                         men at der til ε₁ skal påvises et δ₁ ,  ε_j δ_j  j = 1, 2, 3, ...

Jeg bruger jo primært wierstrass/Jordan, og når jeg bruger den, bruger jeg selvfølgelig automatisk grænse definitionen.

Som Andersen321 så søger jeg, ja, en dybere forståelse. Mit spørgsmål herinde er klart:

Hvad vil det sige at en funktion er kontinuert?

Jamen der må da gælde at hvis afstanden mellem c og a er mindre end Delta, hvor a er et element i A, så medfører det at afstanden af de respektive funktionsværdier er mindre end epsilon, dvs at vi kan finde uendelig små afstande imellem værdierne på x-aksen som medfører at afstanden mellem de respektive funktionsværdier er uendelig små, og derved har man en sammenhængende kurve, uden spring.

Dette må da være korrekt?

Det er ε vi gør vilkårlig lille og påviser et dertil korresponderende δ < ε .
Når denne betingelse er tilstede, kan kurven så at sige ikke undslippe sammenhængen, kontinuiteten.

#10 

Jamen der må da gælde at hvis afstanden mellem c og a er mindre end Delta, 

Du er nødt til at være mere præcis. Gerne brug en figur som supplement.

Kontinuitetsbetingelsen fortæller, at forløbet af grafen for en kontinuert funktion altid vil være sammenhængende, altså der slet ikke vil nogen mellemrummer. Grafen behøver ikke være "glat"; den må gerne have "knæk" (hvor to grafers ende er limet sammen, som ikke er "glat") en eller flere steder på grafen.

(Note: Forløbet af grafen for en differentiabel funktion vil altid være "glat", altså den har ikke nogen "knæk" overhovedet. Desuden er differentiabel ⇒ kontinuert.)