Matematik

Talrække

04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg kan ikke løse vedhæftede opgave. Jeg kan forstå, at man nok skal integrere 1/n, men hvad bliver grænserne? Jeg har prøvet med:

$\int_{1}^{n}\frac{1}{x}dx=ln(n)$

Men jeg tror ikke, det er rigtigt, da jeg ikke kan få det til at passe, hvis jeg fx sætter n=2 i talrækken.

Vedhæftet fil: talraekke.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. maj 2022 af Soeffi

#0. Indsætter billede.

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. maj 2022 af Soeffi

#0. Du har generelt:

$\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\cdot \Delta x_k=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{k}{n})\cdot\frac{b-a}{n}$

der her giver:

$=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a+\frac{k}{n}}\cdot\frac{b-a}{n}$

Sættes a = 1 og b = 2, så får man:

$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\;dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot\frac{2-1}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot\frac{1}{n}$

Dvs.:

$ln(2)-ln(1)=ln(2)=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot\frac{1}{n}$

Svar #3
04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Betyder det, at talrækken konvergerer mod ln(2)?

Svar #4
04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Måske læser jeg opgaven forkert. Der er tale om en talfølge, hvor de enkelte 'elementer' er talrækker ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. maj 2022 af Soeffi

#3, #4. Ja.

Svar #6
04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Tak! Bare lige for at være sikker; det er en højremiddelsum, der bruges her ikke?

Svar #7
04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Jeg har en lignende opgave. Jeg kan her omskrive an til:

$a_{n}=\frac{1}{n+2}*\frac{2}{n}$

Men jeg kan ikke få grænseværdien til at blive 3/2, hvis jeg bruger samme metode som før:

$\int_{2}^{4}\frac{1}{x}dx=ln(2)$

Den giver også ln(2)? Jeg har valgt a=2 og b=4. Det må vel gå op med udtrykket? Eller skal jeg integrere en anden funktion her?

Vedhæftet fil:aff22.png

Svar #8
04. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

#7 Åh. Det er vist en teleskopisk sum, som skal løses anderledes.

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. maj 2022 af Soeffi

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. maj 2022 af Soeffi

#8...Det er vist en teleskopisk sum, som skal løses anderledes.

Ja. Evt.:...

$\sum_{n=1}^{N}a_n=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}=\sum_{n=-1}^{N}\frac{1}{n+2}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}=$

$\frac{1}{-1+2}+\frac{1}{0+2}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}=\frac{3}{2}$

Skriv et svar til: Talrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.