Matematik

Funktionsrækker

22. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg er lidt i tvivl om, hvordan opgave b og c skal gribes an. Opgave a har jeg egentlig bare løst, som jeg plejer at gøre med almindelige talrækker, dvs. jeg har vist, at der er absolut konvergens:

$\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{cos(nx)}{n^p}|\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

Og det er jo tydeligt, at det gælder for alle x i R. Med hensyn til den anden del af opgave a, så er jeg kommet frem til, at hvis $x_{K}=\pi$ og $x_{D}=0$ , så bliver rækken konvergent hhv. divergent for $0<p\leq 1$ . Er det rigtigt nok?

Jeg er meget i tvivl om, hvordan b og c skal løses. Kan det passe at opgave b løses ved, at man viser, at rækken er uniformt konvergent, og at opgave c skal løses sådan, at man først differentierer rækken og så viser, at den afledte række er uniformt konvergent, hvorefter man kan konkludere, at grænsefunktionen er kontinuert, og at den er lig med sp(x)?

Vedhæftet fil: funktionsraekke.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. maj 2022 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. maj 2022 af peter lind

a) Dine forslag er rigtige

b) Brug Δ, ε gymnastikken på rækken for sn og lad derefter n->∞

c) Differentier rækken

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. maj 2022 af jørgenfraviborg

Jeg anvendte Weierstrass' Majoranttest til del b :)

Svar #4
22. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

#3 Det er oplagt. Hvordan har du lavet c?

Svar #5
23. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

#2 Mht. c - hvis man diffentiererer rækken, får man vel:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-sin(nx)}{n^{p-1}}$

Man kan vha. Weierstrass' majoranttest konkludere, at denne række er uniformt konvergent, fordi det for alle n i N og p>2 gælder, at:

$\frac{-sin(nx)}{n^{p-1}}\leq \frac{1}{n^{p-1}}$

Og desuden så konvergerer rækken svarende til:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p-1}}$

Og dermed er sumfunktionen for rækken:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-sin(nx)}{n^{p-1}}$

kontinuert. Heraf kan man så konkludere, at $s^p(x)$ er kontinuert differentiabel på hele R for alle p>2, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. maj 2022 af jørgenfraviborg

Yes ^

Skriv et svar til: Funktionsrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.