Matematik

Differentialligning

02. juni 2022 af Adam150 - Niveau: A-niveau

Forklar sammenhæng mellem den logistisk differentialligning ???? = ?? · ?? · (?? - ??) og den fuldstændige løsning ?? = ?? foruden de trivielle løsninger ?? = 0 og ?? = ??.

Svar #1
02. juni 2022 af Adam150

Forklar sammenhæng mellem den logistisk differentialligning ???? = ?? · ?? · (?? - ??) og den fuldstændige løsning ?? = ?? foruden de trivielle løsninger ?? = 0 og ?? = ??.

Vedhæftet fil:609C16E1-D161-4D89-8126-AA7ABC1DFD17.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. juni 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \\ &&\begin{array}{c|l}\hline\\ y{\, }'=k\cdot y\cdot \left ( M-y \right )&y(x)\textup{ s\ae ttes lig med }\frac{1}{u(x)}\\\\ \hline\\ \left (\frac{1}{u} \right ){\, }'=k\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( M-\frac{1}{u} \right )&\textup{venstresiden differentieres mht }x\\\\ \hline\\ -\frac{1}{u^2}\cdot u{\, }'=k\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( M-\frac{1}{u} \right )&\textup{der multipliceres med }u^2\\\\ \hline\\ -u{\, }'=k\cdot \left ( M\cdot u-1 \right )&\textup{der multipliceres med }-1\\\\ \hline\\ u{\, }'=k\cdot \left (1- M\cdot u \right )&\textup{som l\o ses med panserformlen}\\\\ \hline\\ u{\, }'+kM\cdot u=k&\\\\ \hline\\ u=e^{-kM\cdot x}\cdot \int k\cdot e^{kM\cdot x}\,\mathrm{d}x\\\\ \hline\\ u=e^{-kM\cdot x}\cdot\left ( \frac{k}{kM}\cdot e^{kM\cdot x}+C_1 \right )\\\\ \hline\\ u=\frac{1}{y}=C_1\cdot e^{-kM\cdot x}+\frac{1}{M}&\\\\ \hline\\ y=\frac{1}{\frac{1}{M}+C_1\cdot e^{-kM\cdot x} }&\textup{br\o ken forl\ae nges med }M\\\\ \hline\\ y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-kM\cdot x}} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. juni 2022 af mathon

$\small C=M\cdot C_1$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.