Matematik

Formel til som af konvergerende led ???

21. august 2022 af keldsor - Niveau: C-niveau

Findes en formel for dette udtryk:

∑ P(Klgd=N/2 + k) summeret for k=1 til N/2

Det er bare en sum af sandsynligheder for at en kæde har fra N/2+1 til N/2 led !
Beregning af sandsynligheden HAR jeg styr på - det er blot summeringen for K=1 til N/2 jeg mangler en formel til !

Svar #1
23. august 2022 af keldsor

Det giver en del forvirring, at jeg nævner det har noget med sandsynligheder at gøre - GLEM det og se på den vedhæftede Excel-fil - den forklarer det nøgne problem !

Vedhæftet fil:MatForum.xlsx

Brugbart svar (1)

Svar #2
23. august 2022 af SådanDa

Så vidt jeg kan se i Excel-arket leder du efter summer på formen:

$\sum_{k=N/2+1}^N \frac{1}{k}$

I hvert fald for lige N.

Man kan bruge partielle summer af den harmoniske række (kaldet harmoniske tal):

$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ ,

Så har du:

$\sum_{k=N/2+1}^N \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^N \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}} \frac{1}{k}=H_N-H_\frac{N}{2}$ , igen for lige N.

Harmoniske tal kan udregnes på mange måder, se her: https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number

Alt efter formålet er det dog måske blot mere besværligt.

Du kan skrive din Excel-kode mere kompakt, for eksempel kan du få dit N=100 (0,688172) tal ved at skrive "=SUM(1/RÆKKE(A51:A100))".

Bemærk også at

$\mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{n}\ \forall n\in\mathbb{N}$

ikke udgør en sandsynlighedsfunktion, da den harmoniske række er divergent.

Svar #3
24. august 2022 af keldsor

Mit regneark skulle blot vise, hvad jeg er ude efter.

Du skriver:"Alt efter formålet er det dog måske blot mere besværligt."

Mere besværligt end hvad ?

Jeg vil jo gerne undgå at beregne de enkelte led, og blot sætte N, k (fra) og k (til) ind i en formel !

Kan du vise en beregning af H₁₀₀ så ksn jeg nok selv finde ud af H_N/2 !

Svar #4
24. august 2022 af keldsor

Jeg har fået det til at virke med beregningen, MEN ...

Ved store regneark er det lidt farligt at bruge 'RÆKKE(A51:A100)', idet der skal være 'plads' på regnearket til 'overløbet' - så du kan risikere, at formlen virker ved indsættelse i én celle men ikke i en anden !

Men tak for indsatsen !

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. august 2022 af SådanDa

Det er selvfølgelig korrekt. For store N kan man evt. bruge approksimationen:

$H_N \approx \textup{log}(N)+\gamma -\frac{1}{2N}$ ,

hvor γ er Eulers konstant. Altså er:

$H_N-H_\frac{N}{2}\approx \textup{log}(N)+\gamma+\frac{1}{2N}-\left ( \textup{log}(\frac{N}{2})+\gamma+\frac{1}{2\frac{N}{2}} \right )=\textup{log}(2)-\frac{1}{2N}$

Svar #6
24. august 2022 af keldsor

Det jeg mente med STORE regneark var nu ikke specielt vedr. dette problem og slet ikke størrelsen på N, men derimod din brug af 'RÆKKE(A51:A100)' - det er nemlig IKKE alle celler, hvor dette anvendes i en formel, en sådan formel kan indsættes i !!!!

For at få øjnene op for hvad problemet er, og hvad jeg mener med 'der skal være plads på regnearket', så prøv at indsætte dette i en celle:

=RÆKKE(A51:A100)

Det vil ikke fungere, hvis du indsætter det i cellen i nederste venstre hjørne og flere andre deromkring - så vil du få 'overløb' !

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. august 2022 af SådanDa

Det er korrekt, men nederste venstre hjørne i Excel er jo række nr. 1.048.576. Så jeg tænkte at man hovedsageligt løb ind i problemet hvis man brugte et stort N.

Men i sidste række kan jeg stadig bruge =SUM(1/RÆKKE(A51:A100)), da den bare giver et enkelt tal, som der er plads til.

Men det er en god pointe, at være opmærksom på software-begrænsninger.

Svar #8
24. august 2022 af keldsor

Det HAR været et problem, men er det åbenbart ikke mere - det virker i hvert fald også her ... nu !

Nu er det jo ikke et regnearksforum, så ...

Skriv et svar til: Formel til som af konvergerende led ???

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.