Matematik

Veldefineret Lebesgue integrale

22. oktober 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har en opgave som siger:

Redegør for at integralet er veldefineret for alle $n \in \mathbb{N}$ :

$I_n=\int_{\mathbb{R}}\frac{sin(x^2+n^2)}{x^2+n^2}d\lambda(x)$

Min ide er blot at bruge Lebesgue dominans konvergenssætningen som viser at $|\frac{sin(x^2+n^2)}{x^2+n^2}|$ er opadtil begrænset og derefter vise at $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin(x^2+n^2)}{x^2+n^2}=u(x)$ eksisterer i $\mathbb{\bar{R}}$ .

Derved har jeg vel automatisk vist at den er kontinuert.

Hvordan lyder det?

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. oktober 2022 af SådanDa

Altså du skal vel bruge at I_n<∞, så du skal bruge at den funktion som begrænser |sin(x²+n²)/(x²+n²)| har et endeligt integral.

Jeg forstår ikke helt hvad du vil med grænseværdien du nævner?

Svar #2
22. oktober 2022 af louisesørensen2

Jeg ser at fra https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem kræves der netop kun nævnes at integranten skal kunne begrænses af en funktion som kun afhænger af x.

I vores bog står der at der også at:

$u(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} u_n(x)$ exists in $\mathbb{\bar{R}}$ for all $x \in X$

skal gælde for at integralet er $L^1(\mu)$ (hvor L er lebesgue integrabel.)

Det er derfor jeg bliver lidt i tvivl.

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. oktober 2022 af SådanDa

På wiki-siden skriver de at den skal begrænses af en "integrabel" funktion g(x). "integrabel" betyder jo at integralet er endeligt, som du også kan se på siden lige nedenunder i remark 1.

Altså ja, grænseværdien skal bruges for den del af domineret konvergens-sætningen der handler om at trække grænseværdien indenfor integralet. Men den er ikke nødvendig blot for at vise at f_n∈L¹(µ), tjek eventuelt beviset i din bog, og se hvor det bruges. Altså det skader ikke noget at den findes, men i dette spørgsmål kan vi jo bare vælge et vilkårligt n og vise at I_n∈L¹(µ). Da n er vilkårligt gælder det for alle naturlige n.

Svar #4
22. oktober 2022 af louisesørensen2

Tjek.
Men så løber jeg da ind i problemer hvis jeg vælger min majorant som 1:

$|\frac{sin(x^2+n^2)}{x^2+n^2}|\leq \frac{1}{x^2+n^2}\leq 1$ , da $\int_{\mathbb{R}}1d\lambda(x)=\int_{-\infty}^\infty1dx=\infty+\infty$ , dvs $w(x)=1 \notin L^1(\mathbb{R})$

Det er jo noget sjask.

Brugbart svar (1)

Svar #5
22. oktober 2022 af norm (Slettet)

Integrabel majorant:

$\frac{1}{x^2+1}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
22. oktober 2022 af SådanDa

Hvad med f.eks:

$\Big|\frac{sin(x^2+n^2)}{x^2+n^2}\Big|\leq\frac{1}{x^2+n^2}\leq\frac{1}{x^2+1}$

Svar #7
22. oktober 2022 af louisesørensen2

Tak... jeg har godt nok banket hovedet mod muren i noget tid.

Skriv et svar til: Veldefineret Lebesgue integrale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.