Matematik
Veldefineret Lebesgue integrale
Hej,
Jeg har en opgave som siger:
Redegør for at integralet er veldefineret for alle :
Min ide er blot at bruge Lebesgue dominans konvergenssætningen som viser at er opadtil begrænset og derefter vise at eksisterer i .
Derved har jeg vel automatisk vist at den er kontinuert.
Hvordan lyder det?
Svar #1
22. oktober 2022 af SådanDa
Altså du skal vel bruge at In<∞, så du skal bruge at den funktion som begrænser |sin(x2+n2)/(x2+n2)| har et endeligt integral.
Jeg forstår ikke helt hvad du vil med grænseværdien du nævner?
Svar #2
22. oktober 2022 af louisesørensen2
Jeg ser at fra https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem kræves der netop kun nævnes at integranten skal kunne begrænses af en funktion som kun afhænger af x.
I vores bog står der at der også at:
exists in for all
skal gælde for at integralet er (hvor L er lebesgue integrabel.)
Det er derfor jeg bliver lidt i tvivl.
Svar #3
22. oktober 2022 af SådanDa
På wiki-siden skriver de at den skal begrænses af en "integrabel" funktion g(x). "integrabel" betyder jo at integralet er endeligt, som du også kan se på siden lige nedenunder i remark 1.
Altså ja, grænseværdien skal bruges for den del af domineret konvergens-sætningen der handler om at trække grænseværdien indenfor integralet. Men den er ikke nødvendig blot for at vise at fn∈L1(µ), tjek eventuelt beviset i din bog, og se hvor det bruges. Altså det skader ikke noget at den findes, men i dette spørgsmål kan vi jo bare vælge et vilkårligt n og vise at In∈L1(µ). Da n er vilkårligt gælder det for alle naturlige n.
Svar #4
22. oktober 2022 af louisesørensen2
Tjek.
Men så løber jeg da ind i problemer hvis jeg vælger min majorant som 1:
, da , dvs
Det er jo noget sjask.
Svar #7
22. oktober 2022 af louisesørensen2
Tak... jeg har godt nok banket hovedet mod muren i noget tid.
Skriv et svar til: Veldefineret Lebesgue integrale
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.