Betydning af arealet under graf

Hvis man forestiller sig funktionen f(t) som en diskret funktion med 31 søjler hen ad x-aksen med forskellige højder, så ville hver søjle angive hvor meget vandstanden er steget i hvert år (mm/år).

Når man integrerer en kontinuert funktion som her, så "lægger man de 31 søjler sammen" og 1/år udgår af enheden så der kun er mm tilbage.

Så det vil sige, at man finder hvor meget vandstanden samlet er steget med i 2022 siden 1991 i mm?

Ja

Men når du siger, at man skal se det som en diskret funktion, hvad gør man da med det "overskydende" areal (se det blå område på følgende illustration)? Vil ens beregning ikke blive mindre end den egentlige vandstigning?

Et andet simplere eksempel: Hvis en butiks omsætning stiger med 3 kroner hver dag og butikken tjente 5 kroner på dag 0, vil dette kunne beskrives ved funktionen f(x)=3x+5. Butikken ville altså på dens første 5 dage tjene f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=8+11+14+17+20=70 kroner, men hvis man betemmer integralet for samme område fås:

.

Vil det ikke være det samme i dette tilfælde, eller er det mig, som har misforstået noget?

Du har fuldstændig ret i at det ikke er en nøjagtig metode, eksempel for forståelsen. Man kan vist lade Δx gå mod 0 så hvert areal bliver "uendeligt" småt. Riemann sum, trapez regel...

# 4
Eksemplet med butikken kan ikke integreres med en kontinuert funktion, men kan integreres med en
trappefunktion. Der er jo ingen indtjening mellem x_j og x_{j + 1} . Integrationen kan ikke her foretages med tilvæksten på stamfunktionen men skal ske ved summering af arealbidragene af trappetrinene.
                                     
som man kan kalde en "diskret integration, - med stamfunktion". Det er dog ikke en officiel matematisk
betegnelse. 
 

Ad # 0 b)
Man bemærker igen, at integralet for kontinuert - og ikke-kontinuert funktion ikke helt har samme værdi: