Matematik

matematik C

30. oktober 2022 af sose3214 - Niveau: C-niveau

jeg brug for hjælpe

I en klasse går der 12 piger og 17 drenge.
Der skal vælges repræsentanter til et klasseråd.
a) På hvor mange forskellige måder kan der vælges fire personer ud af den samlede elevgruppe i
klassen?

Klasserådet skal bestå af en formand, en næstformand, en kasserer og et menigt medlem.
b) På hvor mange forskellige måder kan der vælges medlemmer til udvalget, hvis man tager højde for
hvilken post hvert medlem får?

c) Forklar hvorfor svaret på spørgsmål a er et meget lavere tal end svaret på spørgsmål b. I din
forklaring skal du bl.a. bruge begreberne kombination og permutation.

??????

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. oktober 2022 af ringstedLC

#0: Dine indtil nu tre titler er absolut intetsigende og vil på sigt give både dig og os et meget ringe overblik over indlæggene.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. oktober 2022 af ringstedLC

a) Den første elev kan vælges på 29 måder, den næste kan vælges på 28 måder ..., og den sidste kan vælges på 26 måder. Det giver: $\begin{align*} 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\,\textup{m\aa der} \end{align*}$ .

Der vil så være mange af de råd, der består af de samme elever, blot udtaget i forskellig rækkefølge.

For at beregne disse overflødige kombinationer kan det tænkes som fire muligheder for at besætte den første plads i rådet, tre muligheder for den næste plads osv.

Det giver: $\begin{align*} 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\,\textup{m\aa der} \end{align*}$ . Hver kombination af de fire udvalgte går altså igen 24 gange.

Derfor er der egentlig kun:

$\begin{align*} \frac{29\cdot 28\cdot 27\cdot 26}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\,\textup{m\aa der} \end{align*}$

at sammensætte rådet på. Vi siger, at rækkefølgen er ligegyldig og forlænger brøken:

$\begin{align*} \frac{(29\cdot 28\cdot 27\cdot 26)\cdot (25\cdot 24\cdot 23\cdot \,...\,\cdot 1)} {(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (25\cdot 24\cdot 23\cdot \,...\,\cdot 1)} &= \\ \frac{29\cdot 28\cdot 27\cdot \,...\,\cdot 1} {(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (25\cdot 24\cdot 23\cdot \,...\,\cdot 1)} &= \frac{29!}{4!\cdot 25!}=\frac{29!}{4!\cdot (29-4)!}=K(29,4) \end{align*}$

som er kombinationsformlen, formel (99).

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. oktober 2022 af ringstedLC

b) Enhver af klassens 29 elever kan blive formand for rådet, næstformanden er blandt de resterende 28 elever osv. Det giver (igen): $\begin{align*} 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\,\textup{m\aa der} \end{align*}$ for at sammensætte rådet og her er der ingen overflødige kombinationer, da rådene $\begin{align*} \Bigl\{ \left \{\textup{A};\textup{Form.}\right \}; \left \{\textup{B};\textup{N\ae stform.}\right \}; \left \{\textup{C}; \textup{Kass.}\right \}; \left \{\textup{D};\textup{menigt mdl.}\right \} \Bigr \} &\;{\color{Red} \neq} \\ \Bigl\{ \left \{\textup{B};\textup{Form.}\right \}; \left \{\textup{A};\textup{N\ae stform.}\right \}; \left \{\textup{C}; \textup{Kass.}\right \}; \left \{\textup{D};\textup{menigt mdl.}\right \} \Bigr \} & \end{align*}$ .

Vi siger, at rækkefølgen har betydning og forlænger med:

$\begin{align*} 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26 &= \\ \frac{(29\cdot 28\cdot 27\cdot 26)\cdot (25\cdot 24\cdot 23\cdot \,...\,\cdot 1)} {25\cdot 24\cdot 23\cdot \,...\,\cdot 1} &= \frac{29!}{25!}=\frac{29!}{(29-4)!}=P(29,4) \end{align*}$

som er permutationsformlen, formel (98).

$\begin{align*} \frac{\textup{a)}}{\textup{b)}}=\frac{K(n,r)}{P(n,r)} &= \frac{\frac{n!}{r!\,\cdot\, (n-r)!}}{\frac{n!}{(n-r)!}} =\frac{n!\cdot (n-r)!}{r!\,\cdot\, (n-r)!\cdot n!} =\frac{1}{r!} \\\Rightarrow K(n,r)\cdot r! &= P(n,r) \end{align*}$

Skriv et svar til: matematik C

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.