Matematik

differential ligninger HASTER!

02. december 2022 af spørgsmål12 - Niveau: A-niveau

benyt formlen i sætning 4 til løse differentiallignerne, og kontroller resultaterne ved hjælp af dit værktøjsprogram.
a) y'=y+x*e^(x)
b) y'=2x*y+x med begyndelsesbetingelsen y(0)=1
c) y'=-1/x*y+1/1+x^2, x>0 med begyndelsesbetingelsen y(1)=2

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{a)}\\&y{\, }'=y+e^x\cdot x\\\\& y{\, }'+(-1)\cdot y=e^x\cdot x\\\\& y=e^x\cdot \int e^{-x}\cdot e^x\cdot x\,\mathrm{d}x\\\\& y=e^x\cdot \int x\,\mathrm{d}x\\\\& y=e^x\cdot\left ( \frac{1}{2}x^2+C \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. december 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{b)}\\&y{\, }'=2x\cdot y+x\\\\& y{\, }'+\left ( -2x \right )\cdot y=x\\\\& y=e^{x^2}\cdot \int e^{-x^2}\cdot x\,\mathrm{d}x\\\\&& \int e^{-x^2}\cdot x\,\mathrm{d}x\\\\&& \textup{her s\ae ttes }\\&&& u=e^{-x^2}\quad \textup{og dermed}\quad -\frac{1}{2}\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x\\\\\\& y=e^{x^2}\cdot \int e^{-x^2}\cdot x\,\mathrm{d}x=e^{x^2}\cdot\left ( -\frac{1}{2} \right ) \int e^u\,\mathrm{d}u\\\\& y=-\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot\left (e^{u} +C_1 \right )=-\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot\left (e^{-x^2} +C_1 \right )\\\\\\& y(x)=C\cdot e^{x^2}-\frac{1}{2}\\\\&& y(0)=1=C\cdot e^{0^2}-\frac{1}{2}\\\\&& 1=C-\frac{1}{2}\\\\&& C=\frac{3}{2}\\& y(x)=\frac{3}{2}\cdot e^{x^2}-\frac{1}{2} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. december 2022 af Soeffi

#1. Jeg formoder at sætning 4 er den såkaldte panserformel. Du har det som kaldes en sædvanlig lineær førsteordens differentialligning.

Differentialligning betyder en ligning hvor man skal finde en ukendt funktion, y, ud fra oplyninger om den selv og dens afledte.

Førsteordens betyder, at y kun diifferentieret én gang.

Lineær betyder, at ligningen kan skrives på formen:

Sædvanlig betyder, at y kun differentieret med hensyn til én variabel nemlig x. En differentialligning hvor y er differntieret med hensyn til flere variable kaldes partiel.

$y'+f(x)\cdot y=g(x)$

hvor f og g er kendte funktioner i x. Løsningen er:

$y(x)=e^{-F(x)} \cdot \left ( \int e^{F(x)} \cdot g(x)\,dx+c \right )$

hvor

$F(x)=\int f(x)\;dx$

og c er en reel konstant.

............................................................................................................................................................

I a) får man:

$y' = y + x\cdot e^x \Leftrightarrow y' + (-1)\cdot y = x\cdot e^x$

hvor

$f(x) = -1\; \left (dvs.\; F(x) = -x \right )og\; g(x) = x\cdot e^x.$

Dette giver:

$y(x)=e^{x} \cdot \left ( \int e^{-x} \cdot x \cdot e^x \, dx+c \right ) \Leftrightarrow$

$y(x)=e^{x} \cdot \left ( \int x \, dx+c \right ) \Leftrightarrow$

$y(x)= \tfrac{1}{2}\cdot x^2 \cdot e^{x}+c\cdot e^{x}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. december 2022 af Soeffi

#3...præcisering:

Lineær betyder, at ligningen kan skrives på formen:

$y'+f(x)\cdot y=g(x)$

hvor f og g er kendte funktioner i x. Løsningen er:

$y(x)=e^{-F(x)} \cdot \left ( \int e^{F(x)} \cdot g(x)\,dx+c \right )$

hvor

$F(x)=\int f(x)\;dx$

og c er en reel konstant.

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. december 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{c)}\\&&y{\, }'=-\frac{1}{x}\cdot y+\frac{1}{1+x^2}\\\\&& y{\, }'+\left ( \frac{1}{x} \right )\cdot y=\frac{1}{1+x^2}\\\\&& y=\frac{1}{x}\cdot \int \frac{1}{1+x^2}\cdot x\mathrm{d}x\\&\textup{her s\ae ttes:}\\&& u=1+x^2\quad\textup{og dermed} \quad \frac{1}{2}\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x\\\\&& y=\frac{1}{2x}\cdot \int \frac{1}{u}\mathrm{d}u\\\\&& y=\frac{1}{2x}\cdot\left ( \ln(u)+C_1 \right )\\\\\\&& y=\frac{C}{x}+\frac{\ln\left ( x^2+1 \right )}{2x}\\&\textup{betingelse:}\\&& 2=C+\frac{\ln(2)}{2}\\\\&& C=\frac{4-\ln(2)}{2}\\\\\\&& y=\frac{4-\ln(2)+\ln\left ( x^2+1 \right )}{2x} \end{array}$

Skriv et svar til: differential ligninger HASTER!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.