Matematik

bestem a,b og c (forskriften) når differentialkvotienten, 2 punkter og en tangent er kendt

17. december 2022 af angool - Niveau: A-niveau

Hej, jeg sidder lidt fast i en opgave

Vedhæftet fil: opg.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. december 2022 af peter lind

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. december 2022 af peter lind

Indsæt de to kendte punkter i ligningen. Du får derved 2 lineære ligninger med de 3 ubekendte a, b og c.

Eksempelvis får du ved indsættelse af punktet A: f(0) = a*0² + b*0 + c = 1

Udregn f'(x) og indsæt på samme måde punktet A

Svar #3
17. december 2022 af angool

dvs. at c = 1, og derefter gør jeg det med punkt B således;

p(5) = a*5²+ b*5 + 1

p(5) = 36

dvs. a*5² + b*5 + 1= 36

Er det rigtigt?

Brugbart svar (1)

Svar #4
17. december 2022 af ringstedLC

Ja, men start med at differentiere f, løs f '(x_A) = f '(0) = -3 og bestem derved b, da hældningen af en parabel i dens skæring med y-aksen (x = 0) er lig b.

Indsæt så b og B i forskriften og bestem a.

Kontrol: Tegn parablen og tjek med de givne oplysninger.

Svar #5
18. december 2022 af angool

Når jeg differentierer p(x), får jeg a*2x+b, da bx + c må svare til en lineære funktion får jeg bare b, men er dog meget usikker på a.. hvad bliver der af a når jeg differentierer?

Brugbart svar (1)

Svar #6
18. december 2022 af ringstedLC

Korrekt:

$\begin{align*} p(x)=ax^2+bx+c\Rightarrow p'(x) &= 2a\cdot x+b \end{align*}$

a (og b) er jo konstante faktorer på delfunktionerne x² og x. Så de indgår i diff.-kvotienten:

Parablens tangent i A har hældningskoeff. -3. Det er altså p '(0):

$\begin{align*} p'(0)=-3 &= 2a\cdot 0+b \Rightarrow b=... \\\Rightarrow p(x) &= ax^2+...\,x+1 \\ B:(5,36)\Rightarrow p(5)=36 &= a\cdot 5^2+...\cdot 5+1 \Rightarrow a=... \end{align*}$

Bemærk: a kan ikke beregnes ved indsættelse af A pga. x-værdien "0".

Brugbart svar (1)

Svar #7
19. december 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& p{\, }'(x)=2ax+b\\\\&& p{\, }'(0)=2a\cdot 0+b=-3\\\\&& b=-3\\\textup{hvoraf:}\\&& p(x)=ax^2-3x+c\\\\\textup{beregning af }a\textup{ og }c\textup{:}\\&& p(0)=1=a\cdot 0^2-3\cdot 0+c\\\\&& c=1\\\textup{dvs}\\&&p(x)=ax^2-3x+1\\\\\textup{og}\\&& p(5)=36=a\cdot 5^2-3\cdot 5+1\\\\&& 36=25a-14\\\\&& a=\frac{36+14}{25}=2 \end{array}$

Svar #8
19. december 2022 af angool

tusind tak for de hjælpsomme svar :)

Skriv et svar til: bestem a,b og c (forskriften) når differentialkvotienten, 2 punkter og en tangent er kendt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.