Matematik

stationære punkter

09. januar 2023 af fiemn88 - Niveau: A-niveau

Vi ser på punktet [P(1,0,8)] og planen givet ved

z=x+1/2y-3

Du skal bestemme koordinatsættet til det punkt i planen, som har den mindste afstand til [P] . Du kan benytte, at kvadratet på afstanden mellem to punkter [(x_1,y_1,z_1)] og [(x_2,y_2,z_2)] i rummet er givet ved

1.Skab overblik ved at tegne plan og punkt i et værktøjsprogram.
2.Opskriv en funktion, [f(x,y)] , for kvadratet på afstanden mellem et punkt [(x,y,z)] i planen og [P(1,0,8)] .
3.Bestem det stationære punkt for [f] .

Hej. måske et rimeligt simpelt spørgsmål.

Jeg skal bestemme det stationærepunkt for (f), men ved ikke hvordan jeg gør det.

f'_x(x;y) = 1

f'_y(x;y)=1/2

f'_x(x;y)=0 ???

f'_y(x;y)=0 ???

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. januar 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& Q=(x,y,z)\\\\&& \left | QP\right |=r\left ( x,y,z \right )=\sqrt{\left (x-1 \right )^2+\left (y-0 \right )2+\left ( z-8 \right )^2}\\\\&& r(x,y,z)^2=\left (x-1 \right )^2+y^2+\left ( z-8 \right )^2\\\\&& 2\cdot r\cdot \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} x}=2r\cdot 2\left ( x-1 \right )=4r\cdot \left (x-1 \right )\\\\&& 2\cdot r\cdot \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} y}=2r\cdot 2y=4r\cdot y\\\\&& 2\cdot r\cdot \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} z}=2r\cdot 2\cdot \left ( z-8 \right )=4r\cdot \left ( z-8 \right )\\\\\\&& \left\{\begin{array}{ll} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} x}=2x-2\\ \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} y}=2y \\ \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} z}=2z-16 \end{array}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. januar 2023 af mathon

eller da Q skal ligge i planen $\small z=x+\tfrac{1}{2}y-3$
noteret:
$\small \begin{array}{lllll}&& r(x,y)=\sqrt{(x-1)^2+y^2+\left (x+\frac{1}{2}y-3-8 \right )^2}\\\\&& g(x,y)=r^2(x,y)=(x-1)^2+y^2+\left (x+\frac{1}{2}y-11 \right )^2\\\\\\&& g_x{}'\left ( x,y \right )=2\cdot (x-1)+0+2\cdot \left ( x+\frac{1}{2}y-11 \right )=4x+y-24\\\\&& g_y{}'\left ( x,y \right )=2y+2\cdot \left ( x+\frac{1}{2}y-11 \right )\cdot \frac{1}{2}=x+\frac{5}{2}y-11\\\\ \textup{Station\ae rt punkt kr\ae ver:}\\\\&& \begin{matrix}g_x{}'(x,y)=0\\g_y{}'(x,y)=0 \end{matrix}\\ \textup{dvs:}\\&&\begin{matrix} 4x+y-24=0\\ x+\frac{5}{2}y-11=0 \end{matrix}\\\\&& \begin{array}{ll} x=\frac{49}{9}\\ y=\frac{20}{9} \\z=\frac{49+10-27}{9} =\frac{32}{9} \end{array}\\\\\textup{og dermed punktet:}\\&&Q=\left ( \frac{49}{9},\frac{20}{9},\frac{32}{9} \right ) \end{array}$

Svar #3
13. januar 2023 af fiemn88

Tusind tak for svar.
Det var lige det jeg manglede ??

Skriv et svar til: stationære punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.