Matematik

Bevis for mindste kvadraters metode gennem sumformler

28. januar 2023 af kejs - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har nogle spørgsmål til linket: https://da.wikipedia.org/wiki/Mindste_kvadraters_metode.

Der er givet den samlede kvadrat i linket. Dog forstår jeg ikke hvorfor man tager ligningen i anden.

Et andet spørgsmål er, at når vi har b's ligning, hvorfor bliver summen af b ligepludselig til N*b, hvorefter N så fjernes igen.

Mit sidste spørgsmål er, at når vi skal finde a, hvorfor skal hele den samlede kvadrat ganges med x.

Håber i forstår mine spørgsmål. Jeg vedhæfter lige, der hvor jeg stiller spørgsmål til.

Vedhæftet fil: Screenshot 2023-01-28 at 14.55.54.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. januar 2023 af peter lind

se din oprindelige tråd

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. januar 2023 af Eksperimentalfysikeren

Jeg formoder, at du i første spørgsmål ser på udtrykket

$A = \sum_{i}^{}(a X_{i}+b-Y_{i})^{2}$

Dette kan også skrives:

$A = \sum_{i}^{}(f(X_{i})-Y_{i})^{2}$

Inde i parentesen står forskellen mellem den y-værdi, man får ved at indslætte x-værdien i f, og den aflæste y-værdi. Man kunne fristes til at tro, at det var nemmere med:

$A = \sum_{i}^{}(a X_{i}+b-Y_{i})$

men minimum for A ville så være minus uendelig, for man kan bare sætte b lig med minus uendelig. Det er ikke det, man er ude efter. Man kunne også forsøge med

$A = \sum_{i}^{}|a X_{i}+b-Y_{i}|$

Men det har den ulempe, at numerisk værdi ikke er differentiabel. Det er derimod kvadratet.

$\sum_{i}^{}b$

er en kort form af

$\sum_{i=1}^{N}b$

Altså en sum med N addender, der alle er b. Det er lig med Nb.

$\sum_{i}^{}2(aX_{i}+b-Y_{i})X_{i} =0$

X_i ganges ind i parentesen og ligningen divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet:

$\sum_{i}^{}(aX_{i}^{2}+bX_{i}-Y_{i}X_{i}) =0$

$\sum_{i}^{}aX_{i}^{2}+\sum_{i}^{}bX_{i}-\sum_{i}^{}Y_{i}X_{i} =0$

I første sum sættes a udenfor en parentes (som ikke skrives, da sumteget virker som parentes)

Tilsvarende sættes b udenfor en parentes.

$a\sum_{i}^{}X_{i}^{2}+b\sum_{i}^{}X_{i}-\sum_{i}^{}Y_{i}X_{i} =0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. januar 2023 af Eksperimentalfysikeren

Jeg har lige set peter linds indlæg. Jeg vidste ikke, at har har svaret dig i en anden tråd.

Jeg har selv bedt dig om ikke at oprette flere tråde om samme emne. Du skal derfor ikke vente yderligere hjælp fra mig foreløbig!

Svar #4
29. januar 2023 af kejs

Tusind tak for indlægget, det har hjulpet mig en del. Dog undskylder jeg for at oprette en til tråd. Jeg er bare virkelig presset, og skal have svar hurtigt. Jeg gør det ikke igen.

Skriv et svar til: Bevis for mindste kvadraters metode gennem sumformler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.