Matematik

Ulighed

17. februar 2023 af Hartvig123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa. Jeg kan ikke komme videre i denne opgave. Er der nogen, som kan hjælpe?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-02-17 171232.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. februar 2023 af Anders521

$\small \frac{26!}{(25-2n+1)!n!}\cdot \frac{1}{2^n} < \frac{26!}{(25-2(n-1)+1)!(n+1)!}\cdot \frac{1}{2^{n+1}} \Leftrightarrow \\ \frac{26!}{(25-2n+1)!n!}\cdot \frac{1}{2^n} \cdot {\color{Blue} \frac{1}{26!}} \cdot {\color{Red} n!} {\color{Green} \cdot 2^{n}}< \frac{26!}{(25-2n-2+1)!{\color{Purple} (n+1)\cdot n!}}\cdot \frac{1}{{\color{Purple} 2^{n}2}} \cdot {\color{Blue} \frac{1}{26!}}\cdot {\color{Red} n!} \cdot {\color{Green} 2^{n}}\Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)!}<\frac{1}{(25-2n-1)!(n+1)}\cdot \frac{1}{2}\Leftrightarrow \\ \frac{1}{{\color{Purple} (25-2n+1)\cdot(25-2n)\cdot (25-2n-1)! })}\cdot{\color{Blue} (25-2n-1)!} < \frac{1}{(25-2n-1)!(n+1)}\cdot \frac{1}{2}\cdot {\color{Blue} (25-2n-1)!} \Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}< \frac{1}{(n+1)}\cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}\cdot{\color{Blue} 2(n+1})< \frac{1}{(n+1)}\cdot \frac{1}{2} \cdot {\color{Blue} 2(n+1)} \Leftrightarrow \\$

$\small \small \frac{2(n+1)}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}\cdot {\color{Blue} (25-2n+1)\cdot(25-2n)}< 1\cdot {\color{Blue} (25-2n+1)\cdot(25-2n)} \Leftrightarrow \\ 2(n+1)<(25-2n+1)\cdot(25-2n) \Leftrightarrow \\ 2(n+1)\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} < (26-2n)\cdot(25-2n) \cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} \Leftrightarrow \\ n+1<(13-n)\cdot(25-2n) \Leftrightarrow \\ n+1 -{\color{Blue} (n+1)} < 2n^2-51n+325-{\color{Blue} (n+1)} \Leftrightarrow \\ 0<2n^2-52n-324 \Leftrightarrow \\ 0\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}}< (2n^2-52n+324)\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} \Leftrightarrow \\ 0<n^2-26n+162$

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. februar 2023 af AMelev

$\frac{26!}{(25-2n+1)!\cdot n!}\cdot \frac{1}{2^n}<\frac{26!}{(25-2(n+1)+1)!\cdot (n+1)!}\cdot \frac{1}{2^{n+1}}\Leftrightarrow$

$\frac{26!}{(25-2n+1)!\cdot n!}\cdot \frac{1}{2^n}<\frac{26!}{(25{\color{Blue} -2(n+1)}+1)!{\color{Green} \cdot (n+1)\cdot n!}}\cdot \frac{1}{{\color{Red} 2^n\cdot 2}}\Leftrightarrow$
Gang med 2ⁿ og n! og divider med26! (som alle er positive) på begge sider
Omskriv (25-2n+1)! = (25-2n+1)·(25-2n)·(25-2n-1)! og divider med (25-2n-1)! på begge sider
Gang med 2(n+1) på begge sider
Reducer (25-2n+1) og divider med 2 på begge sider
Gang ind i parentesen på højre side og træk n+1 fra på begge sider.

Svar #3
18. februar 2023 af Hartvig123 (Slettet)

#1
#0

$\small \frac{26!}{(25-2n+1)!n!}\cdot \frac{1}{2^n} < \frac{26!}{(25-2(n-1)+1)!(n+1)!}\cdot \frac{1}{2^{n+1}} \Leftrightarrow \\ \frac{26!}{(25-2n+1)!n!}\cdot \frac{1}{2^n} \cdot {\color{Blue} \frac{1}{26!}} \cdot {\color{Red} n!} {\color{Green} \cdot 2^{n}}< \frac{26!}{(25-2n-2+1)!{\color{Purple} (n+1)\cdot n!}}\cdot \frac{1}{{\color{Purple} 2^{n}2}} \cdot {\color{Blue} \frac{1}{26!}}\cdot {\color{Red} n!} \cdot {\color{Green} 2^{n}}\Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)!}<\frac{1}{(25-2n-1)!(n+1)}\cdot \frac{1}{2}\Leftrightarrow \\ \frac{1}{{\color{Purple} (25-2n+1)\cdot(25-2n)\cdot (25-2n-1)! })}\cdot{\color{Blue} (25-2n-1)!} < \frac{1}{(25-2n-1)!(n+1)}\cdot \frac{1}{2}\cdot {\color{Blue} (25-2n-1)!} \Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}< \frac{1}{(n+1)}\cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow \\ \frac{1}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}\cdot{\color{Blue} 2(n+1})< \frac{1}{(n+1)}\cdot \frac{1}{2} \cdot {\color{Blue} 2(n+1)} \Leftrightarrow \\$

$\small \small \frac{2(n+1)}{(25-2n+1)\cdot(25-2n)}\cdot {\color{Blue} (25-2n+1)\cdot(25-2n)}< 1\cdot {\color{Blue} (25-2n+1)\cdot(25-2n)} \Leftrightarrow \\ 2(n+1)<(25-2n+1)\cdot(25-2n) \Leftrightarrow \\ 2(n+1)\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} < (26-2n)\cdot(25-2n) \cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} \Leftrightarrow \\ n+1<(13-n)\cdot(25-2n) \Leftrightarrow \\ n+1 -{\color{Blue} (n+1)} < 2n^2-51n+325-{\color{Blue} (n+1)} \Leftrightarrow \\ 0<2n^2-52n-324 \Leftrightarrow \\ 0\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}}< (2n^2-52n+324)\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}} \Leftrightarrow \\ 0<n^2-26n+162$

Tak! Kan du forklare hvad der sker med (n+1)! så det bliver til (n+1)*n! i anden linje?

Brugbart svar (1)

Svar #4
18. februar 2023 af ringstedLC

#3:

$\begin{align*} \bigl(n+1\bigr)! &= \Bigl((n+1)\cdot \underset{n!}{\underbrace{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1}}\Bigr) \\ &= (n+1)\cdot n! \end{align*}$

Svar #5
18. februar 2023 af Hartvig123 (Slettet)

Mange tak!

Skriv et svar til: Ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.