Matematik

Differentialligning

16. marts 2023 af em9728 - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg skal bestemme løsningen til differentialligningen: y'= 1/2 · x · y + 2x
Desuden er y(0)=4

Jeg SKAL benytte panserformlen. Jeg havde i starten bestemt løsningen vha. wordmat og bevist, at denne er løsningen ved at differentiere den, men jeg skal i stedet bruge panserformlen.

Jeg er klar over metoden med panserformlen, men har svært ved integrationen og de forskellige steps i beregningen af løsningen.

Håber nogen kan hjælpe mig!
- Mvh

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. marts 2023 af CooperForce

Omskriver så det passer til formlen:

$y'-\frac{1}{2}x\cdot y = 2x$

Selve integrationen i dettte tilfælde vil være:

$\begin{align*} a(x) &=-\frac{1}{2}x\\ A(x) &= \int a(x)\: dx = -\frac{1}{4}x^2 \\ b(x) &= 2x \end{align*}$

Og dette kan indsættes i det endelige integrale:

$\begin{align*} \int b(x)\cdot e^{A(x)} \: dx = \int 2x\cdot e^{-\frac{1}{4}x^2} \: dx \end{align*}$

Vi anvender nu integration ved substitution, hvor den indre er $\begin{align*} -\frac{1}{4}x^2 \end{align*}$ og den ydre er $\begin{align*} e^x \end{align*}$ . Vi finder den indre differentieret og finder forholdet mellem denne og 2x:

$\begin{align*} \left(-\frac{1}{4}x^2\right)' &=-\frac{1}{2}x\\ -\frac{1}{2}x\cdot k &=2x\\ k &= -4 \end{align*}$

Vi kan dermed sætte -4 udenfor integralet og lave substitution:

$\begin{align*} \int 2x\cdot e^{-\frac{1}{4}x^2} \: dx &= -4 \int -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{4}x^2} \: dx\\ &= -4 \int e^t \: dt\\ &= -4 e^t\\ &= -4 e^{-\frac{1}{4}x^2} \end{align*}$

Dermed er integralerne lavet. Der skal nu indsættes dem og alt andet i panserformlen for at få svaret:

$\begin{align*} y=e^{\frac{1}{4}x^2} \cdot (-4e^{-\frac{1}{4}x^2}) + c\cdot e^{\frac{1}{4}x^2} \end{align*}$

Jeg vælger at reducere til sidst. Vi kan nu anvende at y(0)=4 til at isolere c for at finde den partikulære løsning:

$\begin{align*} y(0) &=4\\ e^{\frac{1}{4}0^2} \cdot (-4e^{-\frac{1}{4}0^2}) + c\cdot e^{\frac{1}{4}0^2} &= 4\\ e^0 \cdot (-4e^0) + c\cdot e^0 &= 4\\ 1\cdot (-4) + c\cdot 1 &= 4\\ -4+c &= 4\\ c &= 8 \end{align*}$

Dermed bliver den partikulære løsning:

$\begin{align*} y=e^{\frac{1}{4}x^2} \cdot (-4e^{-\frac{1}{4}x^2}) + 8\cdot e^{\frac{1}{4}x^2} \end{align*}$

Reduceret til:

$\begin{align*} y &=e^{\frac{1}{4}x^2} \cdot (-4e^{-\frac{1}{4}x^2}) + 8\cdot e^{\frac{1}{4}x^2}\\ &= -4e^{-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x^2} + 8 e^{\frac{1}{4}x^2}\\ &= -4e^0 +8 e^{\frac{1}{4}x^2}\\ &= 8e^{\frac{1}{4}x^2}-4 \end{align*}$

Håber det hjalp, ellers kan du skrive spørgsmål.

Svar #2
16. marts 2023 af em9728

Tusind tak for hjælpen!

Jeg har svært ved at forstå når man finder forholdet mellem den indre differentieret og de 2x.
Hvordan beregnes de -4 og hvorfor er -1/2·x ikke med ved substitutionen?

Svar #3
16. marts 2023 af em9728

Opdatering:

Jeg har svært ved at forstå hvor konstanten k kommer fra og hvorfor denne samt t' sættes = 2x.

Hvad sker der med -1/2·x under substitutionen?

Brugbart svar (1)

Svar #4
16. marts 2023 af CooperForce

De -4 kommer fra at løse den liging jeg skrev i forhold til k. Med andre ord vi finder forholdet mellem g'(x) og det vi har til at stå på dens plads i formlen:

$-\frac{1}{2}x\cdot k = 2x$

Hvilket giver:

$k = -4$

Det betyder at vi har ganget den generelle formel for integration ved substitution (162 i formelsamlingen) med -4 for at få det integrale vi havde til at stå. Derfor sætter vi det udenfor så vi har det til at stå på samme måde som formlen.

$-\frac{1}{2}x$ er ikke med ved substitutionen, da ifølge formlen skal vi erstatte hele integralet med et integrale af den ydre funktion taget på en variabel t, som er lig vores indre funktion.

Svar #5
16. marts 2023 af em9728

Perfekt, det hjalp utroligt meget:) !

Svar #6
16. marts 2023 af em9728

Jeg er bare stadig i tvivl om hvordan man får ideen om at sætte -1/2x·k = 2x.
Ja for at finde forholdet, men ift. regel 162, hvad er -1/2x·k så, og hvorfor sættes det = 2x?

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. marts 2023 af CooperForce

Det er også en af de ting der ofte volder problemer.

Vi vil gerne have at vores integrale står på samme måde som 162. For at vores integrale kan gøre det, skal vi have at vores f(g(x)) er ganget med g'(x). Derfor tjekker vi om det f(g(x)) er ganget med er lig g'(x). Vi ser så at det er det ikke. For at så få integralet på den form vi gerne vil have det, så finder vi ud af hvad g'(x) er ganget med for at få de 2x, altså løser den ligning jeg opstillede. Så sætter vi det g'(x) er ganget med udenfor integralet, da vi så har integralet på form med 162.

Så vores $-\frac{1}{2}x \cdot k$ er altså ikke noget som står i formlen, men noget vi bruger til at kunne opstille vores integrale på samme måde som formlen.

Svar #8
16. marts 2023 af em9728

Så forstår jeg endelig, tusind tak for hjælpen.

Rigtig god dag til dig!

Brugbart svar (0)

Svar #9
16. marts 2023 af CooperForce

Ingen problem

Tak og i lige måde :)

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.