Matematik

Undersøgelse af graf

19. august 2023 af HA2004 - Niveau: A-niveau

Jeg har fået en given funktion, hvor jeg skal finde hhv. definitionsmængden, nulpunkter, ekstrema, værdimængde, vendepunkter, monotoniforhold samt asymptoter. Kan I hjælpe?(helst i n-spire)

På forhånd tak:)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-08-19 kl. 21.08.27.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. august 2023 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. august 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllllll} \textup{Definitionsm\ae ngde:}&Dm(g):\left \{ x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3 \right \} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. august 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{Define }g(x)=\frac{x^2+2x-1}{x+3}\mid x\neq -3\\\\ \textup{Nulpunkter for }g(x)&\textup{solve }\left ( g(x)=0,x \right )\\\\& x=\left\{\begin{matrix} -1-\sqrt{2}\\ -1+\sqrt{2} \end{matrix}\right.\\\\\\ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. august 2023 af mathon

$\small \begin{array} {llllll} \textup{Define }gm(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( g(x) \right )\\\\\\ \textup{ekstrema:}\\& \textup{solve}\left ( gm(x) =0,x\right )\\\\&x=\left\{\begin{matrix} -3-\sqrt{2}\\ -3+\sqrt{2}\\ \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. august 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} g(x)=x+1+\frac{2}{x+3}\\\\ g(x)\rightarrow x+1\textup{ for }x\rightarrow \infty\\\\ \textup{dvs}\quad \textup{linjen }y=x-1\textup{ er asymptote.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. august 2023 af mathon

Prøv selv med
g(x) for x → - $\small \infty$

Svar #7
19. august 2023 af HA2004

Mange tak for hjælpen. Siden det er en rationel funktion, kan man så finde monotoniforhold?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. august 2023 af StoreNord

Ja, du skal bare differentiere den.
Læg mærke til, at der er 2 grafer i billedet.

Svar #9
20. august 2023 af HA2004

Kan du evt. vise mig det?:)

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. august 2023 af StoreNord

https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem2download/kap5A_QR20aa_broekreglen.pdf

Vedhæftet fil:Undersøgelse af graf.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. august 2023 af mathon

Undersøg for lodret asymptote:

$\small \begin{array}{llllll} g(x)\rightarrow ?\textup{ for }x \to -3^-\\\\ g(x)\rightarrow ?\textup{ for }x \to -3^+ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. august 2023 af mathon

$\small \textup{lim}\underset{x\rightarrow -3^-}{g(x)}=-\infty$

$\small \textup{lim}\underset{x\rightarrow -3^+}{g(x)}=\infty$

altså er linjen
$\small x=-3$ lodret asymptote

Brugbart svar (0)

Svar #13
20. august 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Monotoni:}\\&& \textup{sign}\left ( gm(-3-\sqrt{2}-10^{-7}) \right )=1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er voksende}\\\\&& \textup{sign}\left ( gm(-3-\sqrt{2}+10^{-7}) \right )=-1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er aftagende}\\\\\\&& \textup{sign}\left ( gm(-3+\sqrt{2}+10^{-7}) \right )=1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er voksende} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
20. august 2023 af M2023

#5. g(x) = x - 1 + 2/(x+3)

#13. Man kan også sige: solve(gm(x) > 0, x). Det vil give de intervaller, hvor g(x) er voksende. Tilsvarende: solve(gm(x) < 0, x) for aftagende.

Angående definitionsmængde (eng.: domain) og værdimængde (eng.: range).
Der findes en funktion i nspire, der hedder domain(g(x), x), som giver definitionsmængden. Hvis man i stedet skriver domain(g(x), y), så får man både definitionsmængde og værdimængde på en gang. Man skal bare renskrive resultatet.

Brugbart svar (0)

Svar #15
20. august 2023 af mathon

#11 udbygget

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{sign}\left (-3-\sqrt{2}-10^{-7} \right )=1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er voksende for }x<-3-\sqrt{2}\\\\ \textup{sign}\left (-3-10^{-7} \right )=-1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er aftagende for }-3-\sqrt{2}< x<-3\\\\ \textup{sign}\left (-3+\sqrt{2}+10^{-7} \right )=1\Leftrightarrow g(x)\textup{ er voksende for }x> -3+\sqrt{2} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. august 2023 af mathon

Bemærk korrektionen af

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll} g(x)=x{\color{Red} -}1+\frac{2}{x+3}\textup{ i }\#14\\\\ g(x)\rightarrow x-1\textup{ for }x\rightarrow \infty\\\\ \textup{dvs}\quad \textup{linjen }y=x-1\textup{ er asymptote.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. august 2023 af M2023

#0. Monotoni:
Voksende for x < -3 - √2
Aftagende for -3 - √2 < x < -3
Aftagende for -3 < x < -3 + √2
Voksende for x > -3 + √2

Vedhæftet fil:graf.png

Brugbart svar (0)

Svar #18
21. august 2023 af M2023

#17. Man kan også sige:

Voksende for x < -3 - √2 ∨ x > -3 + √2
Aftagende for -3 - √2 < x < -3 + √2 (ikke defineret for x = -3)

Brugbart svar (0)

Svar #19
21. august 2023 af M2023

#0. Værdimængde: {y∈R |y ≤ g(-3-√2) ∨ y ≥ g(-3+√2)} = {y∈R |y ≤ -6,87 ∨ y ≥ -1,17}

Skriv et svar til: Undersøgelse af graf

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.