Matematik

Differentialligning

13. november 2023 af guddiii - Niveau: A-niveau

En funktion f er løsning til differentialligningen
((dy)/(dt))=1-0.045*y ? ((dy)/(dt))=1-0.045*y
Og grafen for f får gennem punktet P(0,100).

a) Bestem en forskrift for f.

I en model kan udviklingen i temperaturen af en portion suppe beskrives ved ovenstående differentialligning, hvor y betegner suppens temperatur (målt i °C) til tidspunktet t (målt i minutter).

b) Bestem væksthastigheden for suppens temperatur, når suppens temperatur er 50°C

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2023 af Moderatoren

Se fx: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1956143

Eller beskriv dine problemer med opgaven.

Svar #2
13. november 2023 af guddiii

jeg tror bare ikke helt jeg forstår hvordan jeg skal lave en forskrift

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. november 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{V\ae ksthastigheden:}&\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}=1-0.045\cdot 50=-1.25\\\\& \textup{V\ae ksthastigheden for temperaturen er negativ,}\\& \textup{hvilket betyder, at temperaturen ved 50}\degree \mathrm{C}\textup{ aftager med}\\& 1.25 \degree \mathrm{\, C}\textup{ pr. minut} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. november 2023 af Eksperimentalfysikeren

Der findes tabeller over løsninger til mange typer af differentialligninger, men det er nok bedre at se på en metode, der i en del tilfælde giver et resultat nogenlunde hurtigt.

Du kender formodentlig de afledte af en del kendte funktioner. Derudover kender du regler for regning med afledte funktioner, f.eks. (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x), og df(ax)/dx = af'(ax). Det er din værktøskasse.

Prøv at indsætte én af de kendte funktioner og dens afledede i ligningen. Se, om der ser ud til at være noget, der passer sammen. Se, om du kan komme nærmere til en løsning med at tilføje noget til funktionen. Det er f.eks. en god idé at se på f(ax+b)+c, når du har en god idé til f.

Prøv dig lidt frem.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. november 2023 af mathon

a) Brug
"panserformlen"

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. november 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& y{\, }'+0.045\cdot y=1\\\\&& y=e^{-0.045x}\cdot \int e^{0.045x}\:\mathrm{d}x\\\\&& y=e^{-0.045x}\cdot\left ( \frac{1}{0.045}\cdot e^{0.045x}+C \right )\\\\\\&& y=C\cdot e^{-0.045x}+\frac{1}{0.045}\\ \textup{gennem }\left ( 0,100 \right )\\&& 100=C\cdot e^{-0.045\cdot 0}+\frac{1}{0.045}\\\\&& 100=C+\frac{1}{0.045}\\\\&& C=100-\frac{1}{0.045}=100-\frac{1000}{45}=100-\frac{200}{9}=\frac{900-200}{9}=\frac{700}{9}\\ \textup{dvs}\\&& y=\frac{700}{9}\cdot e^{-0.045x}+\frac{1}{0.045} \end{}$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.