Konsekutive sidelængder for vilkårlige trekanter

Benyt trekantuligheden:
En vilkårlig side i en trekant er mindre end summen af de to andre
og større end deres difference.
 

#0. Du har en trekant med siderne a = x, b = x + 1 og c = x + 2. Der gælder følgende uligheder:

1) a + b > c ⇒ x + (x+1) > (x+2) ⇔ x > 1
2) a + c > b ⇒ x + (x+2) > x + 1 ⇔ x > -1 (altid opfyldt)
3) b + c > a ⇒ (x+1) + (x+2) > x ⇔ x > -3 (altid opfyldt)

Da disse skal være opfyldt samtidig, så gælder, at x > 1.
(Du kan sikkert nøjes med uligheden:  a + b > c ⇒ x + (x+1) > (x+2) ⇔ x > 1).

Jeg kendte ikke til denne sætning, tak for hjælpen!

#2...Du har en trekant med siderne a = x, b = x + 1 og c = x + 2, hvor x > 0...

#3

Jeg kendte ikke til denne sætning, tak for hjælpen!

Enten har du glemt denne sammenhæng fra Folkeskolen eller også har din lærer "glemt" at vise den.

Man kunne argumentere for en ligevinklet trekant:

Det må være intuitivt klart, at trekanten hverken kan være ligebenet eller ligesidet, da alle tre sider
er forskellige. Men hvad med den retvinklede trekant? Ved at efterprøve med Pythagoras sætning,
og den  m å  du have hørt om, får vi for x = 3 den kendte 3-4-5 retvinklede trekant.
Tilbage har vi alle øvrige trekanter, som opfylder trekantuligheden. 

Vedr. overskriften:
Skal der ikke stå:
     "Konstruér sidelængder for vilkårlige trekanter" ?
Principielt er en vilkårlig trekant enhver trekant, men når vi laver en prøvetegning af en trekant
med opgivne sider/vinkler, undgår vi at tegne den ligebenede, den ligesidede eller den retvinklede trekant
og kalder prøvetegningen vilkårlig. Det falder så i tråd med denne opgave, dog med undtagelsen af
den retvinklede trekant.

# 0
Lad nu x repræsentere c i ΔABC og lad vinkel C = φ .
Hvad må vi formode, at grænseværdien for φ er, når x vokser ud over alle grænser?
Se # 7 første linje.
 

#9

Jeg har forsøgt at lave en skitse, for situationen du beskriver. Jeg kan dog ikke tænke mig frem til, hvad grænseværdien for vinklen vil være. Ved at manipulere med figuren så |CD| går mod , med en tilstrækkelig stor værdi, får jeg φ = 116,57°. Men som sagt er jeg på bar bund angående en formodning selv ved at læse #7 første linje igen.

#8: Der står intet om at konstruere trekanterne. Der står: "Konsekutive sidelængder". Det vil sige: "I rækkefølge".

Der er ingen grund til at blande vinkler ind i opgaven. Det virker bare forvirrende. Det centrale i løsningen er trekantuligheden, der er omtalt i #6. Der er ikke mere i opgaven.

#10 Der skal ikke være noget linjestykke |CD|

Det er x (AB) der skal gå mod uendeligt.

Desuden skal a være "1" længere end x og b skal være "1" længere end a.

AB: Linjestykkets længde, - og B's x-koordinat bestemmes af skyderen.

C: En af skæringerne mellem de to cirkler.

#12 er blot ment som en hjælp til det spørgsmål som rejses i #9.

Selve opgavens besvarelse ses som #11 nævner, i #6.

#12 Tak for den korrekte skitse.

Jeg vil formode, at φ grænser mod 60°, da forholdet mellem sidelængderne nærmer sig 1. Altså en ligesidet trekant som beskrevet i #6! Det giver en god illustration med skitsen. Tak igen. Jeg er dog i tvivl om tilfældet x = 1 for uligheden . Det giver blot et linjestykke, og ikke en synlig trekant. Er det hvad man kalder en "degenereret trekant"? Er det stadigvæk en gyldig trekant og en gyldig løsning, så det ikke bliver ?

1. Korrekt. Alternativt; sidelængdernes forskelle bliver mindre og mindre, så trekanten bliver næsten ligesidet.

NB. Trekanten i #6 er ikke ligesidet.

2. Ja, det er det vist. Vinkel C "er da trykket helt ned" til a og b som ligger i forlængelse af hinanden. Analogt taler vi jo også om vinkler på 0º hvor vinkelbenene ligger oveni hinanden.

Ups, jeg mente at skrive 'ligevinklet' som skrevet i #6. Siderne er forskellige, så danner tydeligvis aldrig en ligesidet trekant. Tak for de gode svar.