Matematik

acceleration

22. juli 2024 af DoctorManhatten - Niveau: Universitet/Videregående

(a) Afhænger af to parameter

Nemlig v og r.

Først omskriver jeg følgende to ligninger.

$a=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\frac{v}{r}}{dt}=\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}$

$a=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\frac{v}{r}}{dt}=\frac{d\frac{1}{r}}{dt}*v$

Bagefter differentiere jeg den føste ligning mht. t, mens r holdes konstant.

Derefter differentiere jeg den anden ligning mht. t, mens v holdes konstant.

Til sidst bruger jeg produktreglen.

h'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

hvor

$f(x)=\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}$

$f^{'}(x)=a*\frac{1}{r}$

$g(x)=\frac{d\frac{1}{r}}{dt}*v$

$g^{'}(x)=-\frac{1}{r^{2}}*v$

Dermed får jeg følgende.

$a^{'}=a*\frac{1}{r}*\frac{d\frac{1}{r}}{dt}*v+\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}*-\frac{1}{r^{2}}*v$

$a^{'}=\frac{d\frac{a*v}{r^{2}}}{dt}-\frac{d\frac{v^{2}}{r^{3}}}{dt}=\frac{a}{r}*\frac{d\omega }{dt}-\frac{v}{r^{2}}*\frac{d\omega }{dt}=\frac{a^{2}}{r}-\frac{v*a}{r^{2}}$

$a^{'}=\frac{a^{2}}{r}-\frac{v*a}{r^{2}}=\frac{a^{2}*r^{2}}{r*r^{2}}-\frac{v*a*r}{r^{2}*r}=\frac{a^{2}*r^{2}-v*a*r}{r^3{}}=\frac{a^{2}*r-v*a}{r^{2}}$

Er dette rigtigt lavet indtil videre???? Det som jeg ønsker er at bestemme a.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. juli 2024 af jl9

Det er ikke helt klart hvad du forsøger, men måske kan afsnittet https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_acceleration#Particle_in_two_dimensions hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. juli 2024 af Eksperimentalfysikeren

f(x) indeholder ikke x, så højresiden er uafhængig af x og f '(x) = 0. Tilsvarende g(x).

Svar #3
24. juli 2024 af DoctorManhatten

Hej igen og tak for svar. Jeg har korrigeret disse to ligninger en anelse.

$a=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\frac{v}{r}}{dt}=\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}$

$a=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\frac{v}{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}*v$

Ligeledes har jeg korrigeret nedenforstående funktioner.

$f(t)=\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}$

$f'(t)=a*\frac{1}{r}$

$g(t)=\frac{dr}{dt}*v$

$g'(t)=-\frac{1}{r^{2}}*v$

Til aller sidst har jeg korrigeret nedenforstående. Men jeg bliver i tvivl om hvordan sidst nævnte skal udregnes færdigt.

$a'=a*\frac{1}{r}*\frac{dr}{dt}*v-\frac{dv}{dt}*\frac{1}{r}*\frac{1}{r^{2}}*v$

$a'=\frac{a*v}{r}*\frac{dr}{dt}-\frac{dv}{dt}*\frac{v}{r^{3}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. juli 2024 af jl9

Hvis v(t) er divideret med r(t), er det så ikke Kvotientreglen for differentiere, som skal benyttes?

Svar #5
24. juli 2024 af DoctorManhatten

Hej igen.

Sådan som jeg tolker svar #2, så kommer der til at stå følgende

$0=a*\frac{1}{r}-\frac{1}{r^{2}}*v$

$0+\frac{1}{r^{2}}*v=a*\frac{1}{r}-\frac{1}{r^{2}}*v+\frac{1}{r^{2}}*v$

$r*\frac{1}{r^{2}}*v=a*\frac{1}{r}*r$

$\frac{r*v}{r^{2}}=a$

$\frac{v}{r}=a$

Men der stadig nogle ting som jeg ikke helt forstår.

Svar #6
24. juli 2024 af DoctorManhatten

Jeg fortsår ikke helt hvad der menes i svar #2 med at "f(x) indeholder ikke x, så højresiden er uafhængig af x".

Derudover hvad bliver der af følgende

$\frac{dr}{dt}$

$\frac{dv}{dt}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
24. juli 2024 af jl9

Hvis du har en opgaveformulering som billedefil kan det være en fordel at vedhæfte den her.

Hvis opgaven er at bestemme et udtryk for vinkelaccelerationen $a(t)$ ud fra vinkelhastigheden:

$\omega(t)=\frac{v(t)}{r(t)}$ ,

så kan Kvotientreglen benyttes til at bestemme udtrykket for

$a(t) = \frac{d}{dt} \left ( \omega(t) \right )= \frac{d}{dt}\left ( \frac{v(t)}{r(t)} \right )$

Men det er ikke helt klart hvad opgaven lyder på

Svar #8
24. juli 2024 af DoctorManhatten

Det er sidstnævnte som jeg er interesseret i. Nemlig at finde et udtryk for vinkelaccelerationen ud fra vinkelhastigheden.

Svar #9
24. juli 2024 af DoctorManhatten

Skal man slet ikke bruge produktreglen? Men derimod bruge Kvotientreglen?

Brugbart svar (1)

Svar #10
24. juli 2024 af jl9

tjo men så skal man bare bruge en til regneregel for at bestemme

$\frac{d}{dt}\left ( \frac{1}{r(t)} \right )$

og resultatet giver det samme. Kvotientreglen er lige til når det er to funktioner divideret

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. juli 2024 af Eksperimentalfysikeren

Hvad er forudsætningerne?

Hvad vil du finde?

Du stiller nogle formler op og spørger, hvilken formel, du skal bruge. Det kan man ikke svare på, når man ikke kender forudsætningerne og ikke kender målet.

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. juli 2024 af SuneChr

Om et stift legemes rotation om fast akse gælder:
$\omega =\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\: \: \:\, \, \, \, \alpha =\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}=\frac{\textup{d}^{2}\varphi }{\textup{d}t^{{2}}}$ hvor φ er drejningsvinklen.

Hvad mere er der i opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #13
25. juli 2024 af ringstedLC

$\begin{align*} a(t) &= \tfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(v(t)\cdot \tfrac{1}{r(t)}\Bigr) \\ &= \tfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(v(t)\Bigr)\cdot\tfrac{1}{r(t)}+v(t)\cdot \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(\tfrac{1}{r(t)}\Bigr) && \textup{Produktreglen} \\\\ \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(\tfrac{1}{r(t)}\Bigr) &= -\,\tfrac{1}{r(t)^2}{\color{Red} \;\cdot\; \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(r(t)\Bigr)} && \textup{K\ae dereglen} \end{align*}$

Produktreglen og kædereglen = Kvotientreglen:

$\begin{align*} a(t) &= \tfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\tfrac{v(t)}{r(t)}\Bigr) \\ &= \tfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(v(t)\Bigr)\cdot\tfrac{1}{r(t)}+v(t)\cdot \Bigl(-\,\tfrac{1}{r(t)^2}\Bigr)\cdot \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(r(t)\Bigr) \\ &= \tfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(v(t)\Bigr)\cdot\tfrac{1}{r(t)}-v(t)\cdot \tfrac{1}{r(t)^2}\cdot \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(r(t)\Bigr) \\ a(t) &= \frac{v\,'(t)\cdot r(t)}{r(t)\cdot r(t)}-\frac{v(t)\cdot r'(t)}{r(t)^2} =\frac{v\,'(t)\cdot r(t)-v(t)\cdot r'(t)}{r(t)^2} &&\textup{Kvotientreglen} \end{align*}$

Skriv et svar til: acceleration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.