bestem en ligning for tangenten til grafen til grafen

Hej Pedersen

Du skal først finde et udtryk for den afledede funktion til f. Heraf kan du bestemme hældningen af tangenten i x = 0.

Herefter mangler du at finde andenkoordinaten til det punkt hvori tangenten skal bestemmes. I dette tilfælde, funktionsværdien f(0). 

Slutteligt kan du enten indsætte de fundne værdier i regneforskriften for en ret linje eller bruge formlen for tangentens ligningen.

Giver dette mening så langt, eller er der noget du gerne vil have uddybet? :)

Vi har at f(x) = e^-x·sin(x), og vi ønsker at bestemme en ligning for tangenten i punktet P = (0, f(0)).

Der findes et udtryk for den afledede funktion til f:

f '(x) = ^d/_dx(e^-x·sin(x)) = ^d/_dx(e^-x)·sin(x) + e^-x·^d/_dx(sin(x)) 

                         (Produktreglen)

        = -1·e^-x·sin(x) + e^-x·cos(x) = -e^-x·sin(x) + e^-x·cos(x) = e^-x·(-sin(x) + cos(x)).

(Kædereglen)                                                      (e^-x er en fælles faktor)

Vi har altså:

f '(0) = e^-0·(-sin(0) + cos(0)) = ... hvis du er i tvivl, kan du med fordel tegne grafen for eksponentialfunktionen og bruge enhedscirklen til hjælp til at finde funktionsværdierne af sinus og cosinus

Tilsvarende:

f(0) = e^-0·sin(0) = ... 

Du mangler nu at sætte de fundne værdier ind i formlen for ligningen for en tangent og reducere ud 

Tak for hjælpen MentorMath :)

Selv tak!

Du spørger som sagt bare hvis du bliver i tvivl om noget, eller hvis der dukker spørgsmål op :)

bilver lige lidt forviret med hvordan -e^-x kommer

Den er heller ikke helt lige til, så det er helt forståeligt

Funktionen e^-x er en sammensat funktion af funktionerne L(x) = -x og exp(x) = e^x (L og exp er udelukkende brugt for at give funktionerne navne så vi kan skelne dem fra hinanden, da f allerede er brugt i opgaven).

Altså fås den sammensatte funktion exp efter L:

(exp ο L) = e^L(x) = e^-x.

Man differentierer en sammensat funktion efter en regel (kaldet kædereglen) der siger følgende:

^d/_dx(g(f(x)) = ^d/_dx(f(x))·^d/_dx(g(f(x)) = f '(x)·g '(f(x)) (her er g og f tilfældige funktioner der ikke har noget med denne opgave at gøre).

Altså; man differentierer en sammensat funktion ved at differentiere den indre funktion, og derefter gange med den ydre funktion differentieret, med hensyn til den indre funktion. 

Hvis vi deler det op har vi:

^d/_dx(-x) = ^d/_dx(-1·x) = (-1)·^d/_dx(x) = -1·1 = -1 (den variable giver 1 når den differentieres).

^d/_dx(e^y) = e^y (eksponentialfunktionen har blot sig selv som afledede funktion). Jeg har brugt y som variabelnavn idet x allerede er brugt (det er altså udelukkende et spørgsmål om notation).

Hvis vi bruger kædereglen, får vi altså at:

^d/_dx(e^-x) = ^d/_dx(-x)·^d/_dx(e^y) = -1·e^-x = -e^-x.

Jeg håber at det giver mening. Ellers er du mere end velkommen til at spørge igen.

Det er meget svært at forklare på skrift idet man let kommer til at bruge en masse notation og forskellige navne for de funktioner der indgår i den sammensatte funktion. Jeg har dog prøvet at skrive det op så simpelt muligt ved at markere de enkelte dele med farver

tak jeg prøver at kigge på det 

#5

#7

Selvfølgelig 

Jeg har lige lavet få ændringer efterfølgende da der vist var gået rod i farverne...

Rettelse til #6

^d/_dx(g(f(x)) = ^d/_dx(f(x))·^d/_dx(g(f(x)) = f '(x)·g '(f(x))......

 Det skulle selvfølgelig have været

^d/_dx(g(f(x)) = ^d/_dx(f(x))·^d/_dx(g)(f(x)) = f '(x)·g '(f(x))

Jeg beklager meget...

Ej, det skal lige stå rigtigt.... Bare se bort fra #6. Farverne tilføjede ligeledes ikke noget brugbart da jeg i virkeligheden finder det mere forvirrende. Det fungerede i al fald ikke efter hensigten.

Svar til #5:

Den er heller ikke helt lige til, så det er helt forståeligt

Funktionen e^-x er en sammensat funktion af funktionerne L(x) = -x og exp(x) = e^x (L og exp er udelukkende brugt for at give funktionerne navne så vi kan skelne dem fra hinanden, da f allerede er brugt i opgaven).

Altså fås den sammensatte funktion exp efter L af x:

(exp ο L)(x) = e^L(x) = e^-x.

------------

Man differentierer en sammensat funktion efter en regel (kaldet kædereglen) der siger følgende:

^d/_dx(g(f(x)) = ^d/_dx(f(x))·^d/_dx(g)(f(x)) = f '(x)·g '(f(x)) (her er g og f tilfældige funktioner der ikke har noget med denne opgave at gøre).

Altså; man differentierer en sammensat funktion ved at differentiere den indre funktion, og derefter gange med den ydre funktion differentieret med hensyn til den indre funktion. Dvs. når man differentierer den ydre funktion, betragtes den indre funktion blot som en variabel.

------------

Hvis vi deler det op har vi:

^d/_dx(-x) = ^d/_dx(-1·x) = (-1)·^d/_dx(x) = (-1)·1 = -1 (den variable giver 1 når den differentieres).

             (Konstanten -1 må "ganges udenfor" da differentiation er lineært)

^d/_dx(e^y) = e^y (eksponentialfunktionen har blot sig selv som afledede funktion). Jeg har brugt y som variabelnavn idet x allerede er brugt (det er altså udelukkende et spørgsmål om notation).

Vi lader L(x) = y, hvor y blot betragtes som en variabel.

Hvis vi bruger kædereglen, får vi altså at:

^d/_dx(e^-x) = ^d/_dx(e^L(x)) = ^d/_dx(-x)·^d/_dx(e^y) = (-1)·e^y = -e^y = -e^L(x) = -e^-x.

                                                                            (Idet y = L(x))

Jeg håber at det giver mening. Ellers er du mere end velkommen til at spørge igen.

tak for hjælpen alle sammen nu har jeg fået løst opgaven :)

Du bedes korrigere dit faglige niveau.