Matematik

Lineær Algebra, Skalarproduktet, Opgave 2.2.8, Side 27, (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

01. december 2024 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgave 2.2.8

Se evt. den vedhæftede fil med opgaveteksten og facit

La a og b være n - vektorer a = ( 1, 2, 3, ..., n ) og b = (1, 1, ... ,1 ). Beregn a • b.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg

1 1

2 1

a • b = [ 3 ] • [ 1 . ] = 1 + 2 + 3, ..... + n ]

n . 1

Jeg har ingen anelse om jeg har løst eller forstået opgaven rigtig.

Beregn a • a

Mit forsøg

1 1

2 2

a • a = [ 3 ] • [ 3 ] = 1² + 2² + 3² + n²

. .

n n

Vis at

a • a 1

------- = ---- ( 2n +1 ). (Vink bør du finne en enkel formel for)

a • b 3

------------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

Og indsætter:

a • a a 1

------- = ---- = ---- ( 2n +1 ). (Vink bør du finne en enkel formel for)

a • b b 3

Forøvrigt får du bruk for at

1² + 2² + ... + n² = ----- ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

Mit spørgsmål er, hvordan skal man vise at:

a • a 1

------- = ---- ( 2n +1 ).

Og hvad er det for en enkelt formel der skal anvendes og hvordan optræder ( 2n + 1 )

a • b 3

og hvordan for man brug for

1²+ 2²+ ... + n²= ----- ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

På forhånd tak

Vedhæftet fil: OPGAVE 2.2.8 og FACIT.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. december 2024 af jl9

Din a • b og a • a er korrekt.

Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=NqwvNm2enEo om et "enklere" udtryk for a • a

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. december 2024 af mathon

Med et induktionsbevis
bevises:
$s_n=\overset{n}{\underset{k=1}{\Sigma}} k^2= \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. december 2024 af mathon

$s_n=\overset{n}{\underset{k=1}{\Sigma}} k=\frac{n}{2}\cdot (n+1)$

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. december 2024 af mathon

$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}=\frac{\frac{1}{6}\cdot n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{\frac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)}=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot (2n+1)=\frac{1}3\cdot (2n+1)$

Svar #5
01. december 2024 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
02. december 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll}\textbf{Induktionsbevis}\\\\ \textup{Udtrykket}\\&&s_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\textup{er sandt for }n=1\\ \textup{og endvidere sandt}\\ \textup{for }n=\left\{2,3,4\right\}\\\\\\ \textup{For n=k er det forudsat}\\ \textup{at}&&s_k=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\ \textup{og at}\\ &&s_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\\\ \textup{Endvidere er } &&s_{k+1}=s_k+(k+1)^2=\\\\&&\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\\\\&&\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\ \textup{(k+1) s\ae ttes som}\\ \textup{f\ae lles faktor uden}\\ \textup{for parentes}\\&&\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\\\\&&\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\\\ \textup{Det unders\o ges om (k+2)}\\\textup{er divisor i }(2k^2+7k+6) \\\\&& \underline{k+2\mid} \;2k^2+7k+6\;\underline{\mid 2k+3}\\&& \qquad \quad \underline{2k^2+4k}\\&& \qquad \qquad \quad \;\;\,3k+6\\ &&\qquad \qquad \quad \;\;\,\underline{3k+6}\\&& \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
02. december 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Da (k+2) \textbf{er} divisor}\\ \textup{i }2k^2+7k+6\\\\ \textup{er }&&2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)\\\\ \textup{hvoraf}\\&&s_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \\\\ \textup{som forudsat.}\\\\ \textup{F\o lgelig er det formodede}\\ \textup{udtryk sandt for alle n}\geq 1\textup{.} \end{}$

Svar #8
02. december 2024 af ca10

Til Svar #2-7, mathon

Tak for svaret jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Skriv et svar til: Lineær Algebra, Skalarproduktet, Opgave 2.2.8, Side 27, (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.