Matematik

Ligning, Matematisk Analyse, (Norsksproget) Opgave 1.6.5., Side 29 ( Knut Sydsæter)

27. januar 2025 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

OPgave 1.6.5

Finn de x som er slik at:

( x + 1 )² ( x - 1 ) ² 3 • x + 1

------------------- + ------------------- - 2 • --------------- = 0

x • ( x - 1 ) x • ( x + 1 ) x² - 1

--------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

For at ligningen skal være lig nul så skal bestemme x så tælleren er 0. Nævneren må ikke være 0.

x - 1 = 0 ⇔ x = 1 Indsætter man x = 1 så bliver nævneren 0. Så er x = - 1 er ikke en løsning

x + 1 = 0 ⇔ x = -1 Indsætter man x = -1 så bliver nævneren 0 så x = 1. Så x = -1 er ikke en løsning

3x +1 = 0 ⇔ 3x = -1 ⇔ x = - 1 / 3. Så det er kun i den tredje brøk at tælleren bliver nul, når man indsætter

x = - 1 / 3.

I facitlisten er løsningen x = 2

Se evt vedhæftede fil.

Så mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man x så ligningen bliver nul?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 1.6.5 og Facit.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. januar 2025 af StoreNord

Du skal nok gange hele ligningen med fællesnævneren,
som vist nok er x*(x+1)*(x-1)

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. januar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll}&& \frac{(x+1)^2}{x\cdot(x-1)}+\frac{(x-1)^2}{x\cdot(x+1)}-2\cdot \frac{3x+1}{x^2-1}=0\qquad \textup{FN}=x\cdot(x-1)\cdot (x+1)\\\\ \textup{Med f\ae llesn\ae vner:}\\&& \frac{(x+1)^2\cdot (x+1)}{x\cdot(x-1)\cdot (x+1)}+\frac{(x-1)^2\cdot (x-1)}{x\cdot(x-1)\cdot (x+1}-2\cdot \frac{x\cdot (3x+1) }{x\cdot(x-1)\cdot (x+1)}=0 \qquad x\neq \mp1\\\\&& \\\\ \textup{T\ae ller lig med nul:}\\\\&&(x+1)^3+(x-1)^3-2x\cdot(3x+1)=0\\\\&&x^3+3x^2+3x+1+x^3-3x^2+3x-1-6x^2-2x=0\\\\&& 2x^3+6x-6x^2-2x=0\\\\&&2x^3-6x^2+4x=0 \\\\ \textup{Divideres med 2x:}\\\\&&x^2-3x+2=0\\\\&&x=\left\{\begin{matrix}1&\textup{ikke defineret}\\ 2 \end{}\right. \end{}$

Svar #3
27. januar 2025 af ca10

Til Svar #1 StoreNord

Tak for svaret

Det prøver jeg

På forhånd tak

Svar #4
27. januar 2025 af ca10

Til Svar #2 mathon

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. januar 2025 af mathon

Benyttet:
$\begin{array}{llllll} x^2-1=(x-1)\cdot (x+1)\\\\ (a+b)^3=a^3+3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2+b^3 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. januar 2025 af AMelev

Ad #2 Grundmængde: x ≠ 0 og x ≠ ±1

Brugbart svar (1)

Svar #7
28. januar 2025 af mathon

Korrektion:

$\begin{array}{llllllll}&& \frac{(x+1)^2}{x\cdot(x-1)}+\frac{(x-1)^2}{x\cdot(x+1)}-2\cdot \frac{3x+1}{x^2-1}=0\qquad \textup{FN}=x\cdot(x-1)\cdot (x+1)\\\\ \textup{Med f\ae llesn\ae vner:}\\&& \frac{(x+1)^2\cdot (x+1)}{x\cdot(x-1)\cdot (x+1)}+\frac{(x-1)^2\cdot (x-1)}{x\cdot(x-1)\cdot (x+1}-2\cdot \frac{x\cdot (3x+1) }{x\cdot(x-1)\cdot (x+1)}=0 \qquad x\in\mathbb{R}\backslash \left\{-1,0,1\right\} \\\\&& \\\\ \textup{T\ae ller lig med nul:}\\\\&&(x+1)^3+(x-1)^3-2x\cdot(3x+1)=0\\\\&&x^3+3x^2+3x+1+x^3-3x^2+3x-1-6x^2-2x=0\\\\&& 2x^3+6x-6x^2-2x=0\\\\&&2x^3-6x^2+4x=0 \\\\ \textup{Divideres med 2x:}\\\\&&x^2-3x+2=0\\\\&&x=\left\{\begin{matrix}1&\textup{ikke defineret}\\ 2 \end{}\right. \end{}$

Svar #8
28. januar 2025 af ca10

Til Svar #7 mathon

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
28. januar 2025 af M2023

#0. Prøv eventuelt at se løsningen i WolframAlpha. Den giver x = 2.

Svar #10
29. januar 2025 af ca10

Til Svar #9 M2023

Matematisk Analyse, (Norsksproget)af Knut Sydsæter, udgivet i 1981 og opgavene skal løses med papir og blyant idet i 1981 fandtes der ikke matematikprogrammer som f.eks. WolframAlpha.

Jeg er igang med at forsøge at med papir og blyant at løse opgave 1.6.5., Side 29. Jeg vender tilbage senere.

På forhånd tak

Svar #11
03. februar 2025 af ca10

( x + 1 )² ( x - 1 )² 3x + 1

----------------- + --------------- - 2 • -------------- = 0

x • ( x - 1 ) x • ( x - 1 ) x² - 1

Man skal bestemme x så ligningen er lig nul.

Først skal bestemme fællesnævneren. Jeg havde burde have set at x² - 1 også er det der kaldes første kvadratsætning:

( a + b ) • ( a - b ) = a² - ab + ab - b² = a² - b².

Så i følge første kvadratsætning skrives x² - 1 således:

( x + 1 ) • ( x - 1) = x² + x - x - 1² = x² - 1

Så fællesnæveneren FN er: x • ( x - 1 ) • ( x + 1 )

( x + 1 )² ( x - 1 )² 3x + 1

----------------- + --------------- - 2 • -------------- = 0

x • ( x - 1 ) x • ( x + 1 ) x² -1

⇔

( x + 1 )² • ( x + 1 ) ( x - 1 )² • ( x - 1 ) x • ( 3x + 1)

-------------------------------- + --------------------------------- - 2 • ------------------------------- = 0

x • ( x - 1 ) • ( x + 1 ) x • ( x - 1 ) • ( x + 1 ) x • ( x - 1 ) • ( x + 1 )

Betsemmer x så Tælleren er lig med nul:

( x + 1 )² • ( x + 1 ) + ( x - 1 )² • ( x - 1 ) - 2 • x • ( 3x + 1) = 0

Jeg har valgt at tage hvert led hver for sig

1: ( x + 1 )² • ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) = ( x² + 2x + 1 ) • ( x + 1 ) = x³ + 2x² + x + x² +2x +1

= x³+ 3x² + 3x +1

2: ( x - 1 )² • ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 ) = ( x² - 2x + 1 ) • ( x - 1 ) = x³ - 2x² + x - x² + 2x -1

= x³ - 3x² + 3x -1

3: 2x • ( 3x - 1 ) = - 6x² - 2x

Samler 1, 2 og 3:

x³+ 3x²+ 3x +1 + x³ - 3x² + 3x -1 - 6x² - 2x = 0

⇔

2x³ + 6x - 6x² -2x = 0

⇔

2x³ - 6x² + 4x = 0

Faktoriserer: 2x³ - 6x² + 4x

2x • ( x² - 3x + 2) = 0

x² - 3x + 2 = 0 ,

Bestemmer diskriminanten:

d = b² - 4 • a • c = ( -3 )² - 4 • 1 • 2 = 9 - 8 = 1

Bestemmer x:

- ( - 3 ) - √ (1) 3 - 1

x₁ = --------------------------- = ---------- = 1 , x = 1 er ikke defineret for så bliver nævneren lig nul

2 2

Og x ∈ R \ { - 1, 0 , 1 }

- ( - 3 ) + √ ( 1 ) 3 + 1

x₂ = ------------------------ = ---------- = 2

2 2

Gør prøve og indsætter x = 2:

x² - 3x + 2 = 2² - 3 • 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0

Løsningen er x = 2.

Skriv et svar til: Ligning, Matematisk Analyse, (Norsksproget) Opgave 1.6.5., Side 29 ( Knut Sydsæter)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.