Matematik

Geometriske vektorer i rummet, Lineær Algebra Universitetsforlaget, Opgave 2.3.7 , Side 38, (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

02. marts 2025 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgave. Norsk tekst (se evt vedhæftede fil med opgaveteksten og facit).

Vektortegnene mangler her.

2.3.7 ( i ) a ( a_1, a₂, a₃ ) ≠ (0,0) La L være mengden av punkter på formen t( a₁, a₂ ), der t gjennomløper alle relle tall. Vis at L blir den rette linje gjennom origo parallell med a.

( ii ) La a = ( a₁, a₂, a₃) ≠ 0 være gitt. Beskriv mengden L av alle punkter t ( a₁, a_2,a₃ ) når t gjennomløper alle reel tall.

I facitlisten er der kun facit til (ii) L er den rette linjen gjennom origo parallell med a.

Mit spørgsmål er, hvordan løser man opgave 2.3.7 ( i ) og ( ii ) for jeg har ikkke den fjerneste anelse hvordan man i ( i ) Vis at L blir den rette linje gjennom origo parallell med a. og i ( ii ) Beskriv mengden L av alle punkter t ( a₁, a₂, a₃ ) når t gjennomløper alle reel tall.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 2.3.7 og facit.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
02. marts 2025 af peter lind

Det bliver en linje, der har linien som i første 1 men i højden a3

Brugbart svar (1)

Svar #2
02. marts 2025 af ringstedLC

(i)
$\begin{align*} \vec{\,a}=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2 \end{pmatrix} \;,\;L: \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x_{O}\\ y_{O} \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}a_1\\ a_2 \end{pmatrix} &&,\;\vec{\,a}\neq \left(\begin{matrix}0\\ 0 \end{matrix} \right) \;,\;t\in \mathbb{R} \\ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_1\,t\\ a_2\,t \end{matrix} \\ \vec {\,a} &\,\parallel L \\ \Rightarrow \textup{det}(\vec{\,a},L) &=0 \\a_1\,a_2\,t-a_2\,a_1\,t &= 0 \\0 &= 0 \end{}$

To vektorer i planen er parallelle, når deres determinant er 0.

(ii)

$\begin{align*} \vec {\,a}=\left(\begin{matrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{matrix}\right) \;,\;L:\left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\\ \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} x_{O}\\ y_{O}\\ z_{O} \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix}\right) &&,\;\vec {\,a} \neq \vec {\,0} \;,\;t\in \mathbb{R} \\ \left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\\ \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} a_1\,t\\ a_2\,t\\ a_3\,t \end{matrix}\right) \\ \vec{\,a} &\,\parallel L \\ \Rightarrow \vec{\,0} &= \left(\begin{matrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} a_1\,t\\ a_2\,t\\ a_3\,t \end{}\right) \\\vec{\,0} &= \left(\begin{matrix} a_2\,a_3\,t-a_3\,a_2\,t\\ a_3\,a_1\,t-a_1\,a_3\,t\\ a_1\,a_2\,t-a_2\,a_1\,t \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix}\right) \end{}$

To vektorer i rummet er parallelle, når deres krydsprodukt giver nulvektoren.

Brugbart svar (1)

Svar #3
02. marts 2025 af AMelev

#0
2.3.7 ( i ) a ( a_1, a₂, a₃ ) ≠ (0,0) La L være mengden av punkter på formen t( a₁, a₂ ), der t gjennomløper alle relle tall. Vis at L blir den rette linje gjennom origo parallell med a.

( ii ) La a = ( a₁, a₂, a₃) ≠ 0 være gitt. Beskriv mengden L av alle punkter t ( a₁, a_2,a₃ ) når t gjennomløper alle reel tall.

I facitlisten er der kun facit til (ii) L er den rette linjen gjennom origo parallell med a.

Lad $t\cdot \vec a$ være stedvektor for et punkt P_t
Når t gennnemløber R₊, får du alle punkter i $\vec a$ 's retning, og når t gennnemløber R-, får du alle punkter modsat $\vec a$ 's retning. Sammen med P₀ =(0,0) har du dermed hele linjen gennem Orido parallel med $\vec a$ .

Eks. $\vec{a} =(2,1)$ , så får du
P₀ = (0,0), P1 = (2,1), P-1 = (-2,-1), P2 = (4,2), P-2 = (- 4,-2) osv. Prøv evt. at tegne.

Fuldstændig tilsvarende i 3D. En ret linje parallel med $\vec{a} =(a_1,a_2,a_3)$ gennem P₀ = Origo.

Svar #4
02. marts 2025 af ca10

Tak til Svar #1 peter ind, Svar #2 ringstedL C og Svar #3 AMelev.

Jeg ser nærmere på dem

På forhånd tak

Skriv et svar til: Geometriske vektorer i rummet, Lineær Algebra Universitetsforlaget, Opgave 2.3.7 , Side 38, (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.