Matematik

Lineær Algebra - Linjer og Plan, Eksempel 1,Side 40, (Knut Sydsæter og Bernt Økensendal)

23. marts 2025 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

Eksempel 1. Linjen L i R² Gennen ( 1, 1 ) og med retning ( 2, 3 ) har parameterfremstillingen

x = ( 1, 1 ) + t • ( 2, 3 )

eller

x₁ = 1 + 2t, x₂ = 1 +3t

Af 1. ligning får vi her t = 1 / 2 • ( x₁- 1 ), som indsat i 2 . Ligning giver

2x₂ - 3x₁+ 1 = 0 eller x₂ = ( 3 / 2 ) • x₁ - 1 / 2

som er ligningen for L på almindelig form. Tegn figur.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

Jeg indsætter

t = 1 / 2 • ( x₁ - 1 ) i ligning 2. x₂= 1 +3t

x₂ = 1 + 3 • 1/2 • ( x₁ - 1 ) ⇔

x₂ = 1 + 3 / 2 • ( x₁ - 1 ) ⇔

x₂ = 1 + 3 / 2 • x₁ - 3 / 2 ⇔

2 x₂ = 2 + 3x₁ - 3 ⇔

2x₂ = -1 + 3x₁ ⇔

2x₂ - 3x₁ + 1 = 0 eller x₂ = ( 3 / 2 ) • x₁ - 1 / 2

I eksemplet står der at det er ligningen for L på almindelig form.

Der står i eksemplet Tegn figuren.

( I det vedhæftede dokument ses den norsksproget opgavetekst)

Mit spørgsmål er, hvordan tegner man figuren med ligningen L.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Eksempel 1.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. marts 2025 af mathon

Hvis du nu begynder således:

$\begin{array}{llllll}&& \begin{pmatrix}x\\y \end{}=\begin{pmatrix}1\\1 \end{}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\3 \end{} \end{}$
og eliminerer t:

$x-1=2t$
$y-1=3t$

$3x-3=6t$
$2y-2=6t$
subtraherer øverste
ligning fra nederste:
$2y-2-3x+3=0$

$2y-3x+1=0$

$y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{1}{2}$

så det bliver "mere velkendt".

Din brug af substitutionsmetoden er selvfølgelig lige så god.

Brugbart svar (1)

Svar #2
23. marts 2025 af mathon

En del matematiske lærebøger
anvender planpunktnotationen:
      $P(x_1,x_2)$
frem for planpunktnotationen:
$P(x,y)$
så linjens planligning
bliver:
      $l\textup{:}\quad \left\{(x_1,x_2)\mid x_2=a\cdot x_1+b\right\}$

hvor
     førsteaksen er en x₁-akse og andenaksen er en x₂-akse som for
   dig
   måske er
   mindre kendt

frem for:
$l\textup{:}\quad \left\{(x,y)\mid y=a\cdot x+b\right\}$

hvor
akserne er, som du kender dem.

Brugbart svar (1)

Svar #3
23. marts 2025 af ringstedLC

Sæt x₂ = y og x₁ = x !

Svar #4
23. marts 2025 af ca10

Til Svar #1 mathon

I den norske bog Lineær Algebra anvendes ikke koordinaterne x og y.

Det var der gjorde jeg ikke vidste hvordan man skulle tegne figuren.

Havde jeg med det samme set i I Vejen til Matematik A2 kunne se hvordan man opstiller den parameterfremstilling som du gør i dit svar.

I Vejen til Matermatik A2, Side 23, Ligning på Formen y = ax + b ses linjens ligning.

a • ( x - x₀ ) + b • ( y - y₀ ) = 0

På side 24 ses en parameterfremstilling for en linje

x x₀ r₁

( ) = ( ) + t • ( )

y y₀ r₂

Det vil jeg så prøve at anvende:

Linjen L må så have punkt P ( 1, 1 ) og retningsvektoren r = ( 2, 3 ).

På side 25 er afsnittet Ligning og parameterfremstilling, hvor man ved hjælp af en parameterfremstilling kan bestemme en ligning.

Så linjen L har retningsvektoren r = (2 , 3 ) har så normalvektoren ( -3, 2 ). Jeg anvender punktet p = ( 1, 1 ) og normalvektoren og anvender linjens ligning og får så:

-3 • ( x - 1 ) + 2 • ( y - 1 ) = 0 ⇔

-3x + 3 + 2y - 2 = 0 ⇔

-3x + 1 + 2y = 0 ⇔

2y = 3x - 1 ⇔

y = ( 3/2 ) • x - 1 / 2

Jeg kan godt se at din metode til at bestemme brug af parameterfremstillingen

Hvo du begynder således:

x 1 2

( ) = ( ) + t • ( )

y 1 3
og eliminerer t:

x-1=2t
y-1=3t

3x-3=6t
2y-2=6t
subtraherer øverste
ligning fra nederste:
2y-2-3x+3=0

2y-3x+1=0

y= ( 3/2) • x - 1 / 2

er hurtigere end den metode jeg anvendte.

Tak for svaret

Svar #5
23. marts 2025 af ca10

Tak til Svar #2 mathon og Svar # 3 ringstedLC

Brugbart svar (1)

Svar #6
23. marts 2025 af ringstedLC

Husk også at parameterfremstillingen:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot\binom{1}{a} \\ \textup{har\,ligningen}: \\ y &= a\cdot\bigl(x-x_0\bigr)+y_0 &&\textup{formel (65),\;STX A} \\ y &= a\,x+\bigl(y_0-a\,x_0) \\ y &= a\,x+b \end{}$

og at:

$\begin{align*} t\cdot \binom{r_1}{r_2}=r_1\,t\cdot\binom{\frac{r_1}{r_1}}{\frac{r_2}{r_1}} &= r_1\,t\cdot\binom{1}{\frac{r_2}{r_1}} =r_1\,t\cdot\binom{1}{a} \end{}$

Eksempel 1:

$\begin{align*} L: \binom{x}{y} &= \binom{1}{1}+t\cdot\binom{2}{3}=\binom{1}{1}+2\,t\cdot\binom{1}{\frac{3}{2}} \\ \textup{har\,ligningen}: \\ y &= \tfrac{3}{2}\cdot (x-1)+1 \\y &= \tfrac{3}{2}\,x-\tfrac{1}{2} \end{}$ :

Svar #7
23. marts 2025 af ca10

Tak til Svar #6, ringstedLC

Jeg skal anskaffe mig formelsamling STX A

Brugbart svar (1)

Svar #8
23. marts 2025 af ringstedLC

Den henter du på https://www.uvm.dk/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner/laereplaner-2017/-/media/72be2b27f2e94e0fb6e2c6ba351fba37.ashx

Svar #9
23. marts 2025 af ca10

Til svar #8 ringstedLC

Tak for tippet.

Brugbart svar (1)

Svar #10
24. marts 2025 af mathon

eller

Når linjens parameterfremstilling
SPECIELT
er

$\begin{array}{lllllll} &&\begin{pmatrix}x\\y \end{} = \begin{pmatrix}1\\1 \end{}+t\begin{pmatrix}1\\\color{Red}{\frac{3}{2} }\end{} \\\\ \textup{har linjen h\ae ldningstal:}\\&& a=\frac{3}{2}\\\\ \textup{og dermed ligningen:}\\\\&&y=\frac{3}{2}x+b\\\\&& 1=\frac{3}{2}\cdot 1+b\\\\&& b=-\frac{1}{2}\\\\&&y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \end{}$

Svar #11
24. marts 2025 af ca10

Til Svar 10 mathon

Tak for svaret

Skriv et svar til: Lineær Algebra - Linjer og Plan, Eksempel 1,Side 40, (Knut Sydsæter og Bernt Økensendal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.