Er kubikroden af et negativt tal reelt eller komplekst?

Det er et rigtig godt spørgsmål! Hvis man f.eks vil bestemme komplekse løsninger til den reelle tredjegradsligning:

så har den 3 løsninger, hvor den ene løsning har 0 som imaginært tal:

Man kan sætte alle 3 løsninger i tredje og det vil give -8 som resultat.

Tredieroden af -8 er -2, ligesom kvadratroden af 4 er +2.

ligningen x³+8=0 har tre løsninger, og ligningen x²-4=0 har to løsninger. Man vil gerne have, at højst har én værdi, da det ellers kan blive noget rod, når man regner videre. Det er derfor man har ± i formlen for andengradsligningens løsninger. Hvis kvadratroden i sig selv havde to værdier, ville det ikke være nødvendigt, for så havde man noget i retning af -5±(±2)..., hvilket virker absurd.

Man har så valgt, at lige rødder, herunder kvadratroden, har ikkenegativt resultat, mens ulige rødder har reelt resultat. Det indbærer også, at man kun kan tage roden af et reelt tal og for de lige rødder endda et ikkenegativt tal.

Dette er ikke noget, man kan bevise. Det er en konvention.

Prøv at se på identiteten
a^(^p/_q) = ^q√(a^p) ,  hvor ^p/_q er et uforkorteligt rationalt tal.
Vi kan opstille et skema for p ulige og lige, og det samme for q.
Tilfældet, hvor begge er lige, kan vi udelade, da vi ellers ville have kunnet forkorte brøken.
                 p  ulige   lige
  q
ulige            ³√a     ³√a²
lige               √a³      xx
Prøv nu at indsætte negative som positive a i de tre tilfælde.