ikke homogene anden ordens differentialligninger

En andenordens lineær homogene differentialligning med konstante koefficienter løses normalt med at løse den karakteristiske ligning I'x² + r*x + k = 0. Den tilsvarende inhomogene differentialligning løses derefter let.

Da jeg ikke ved hvad de forskellige paramtre er, vil jeg ikke løse den for dig. Du kan imidlertid selv teste i dit CAS værktøj om dit resultat er rigtig.

Vedlæg altid opgaven som en billedfil eller til nød pdf fil.

Hej igen. Sidder med et CAS - værktøj i form af min TI 89 Lommeregner, og kan ikke finde ud af hvordan det skal tastes ind. 

Jeg har skrevet desolve(a*d(y,2)+b*d(y)+c*y=(f/a)*e^i*ω*t,y)

Og kan ikke få det til at virke. 

Jeg tror at #1 mener du skal teste din løsning ved at gøre prøve, altså differentiere din løsning to gange og se om det er en løsning til diff.-ligningen.

Jeg har stadig problemer med at løse den inhomogene differentialligning. Hvad er det helt præcic som jeg skal differentiere 2 gange?

Altså er det meningen med efterprøvningen at jeg skal indsætte den externekraft i de forskellige y'er?

Den externekraft er i dette tilfælde lig med 

(F_o/I)*e^i*ω*t

Således at der kommer til at stå følgende

I * (F_o/I)*i²*e^i*ω*t*ω²+r * (F_o/I)*i*e^i*ω*t*ω+k * (F_o/I)*e^i*ω*t = 0?

For at teste om din løsning til den homoge

den løsning du har fundet y(t)

Du skal beregne y'(t) og y''(t)

Derefter skal du beregne

I * y'' + r * y' + k * y

Hvis resultatet af dette giver højre side giver højre side er din løsning OK ellers har du lavet en fejl.

Hej igen. 

Jeg skriver lige i denne tråd igen og håber på at få noget hjælp eller nogle hints.

Jeg har fundet følgende løsning til min differentialligning. 

y(t) = e^-(r/2*I)*squart(a²+b²)*cos(squart(c/I-r²/4*I²)*t-φ)

Nu vil jeg gerne afprøve om hvorvidt denne løsning til den homogene anden ordens lineær ligning er rigtig.

I*y''(t) + r*y'(t) + k*y(t) = 0

Jeg skal derfor igang med at differentiere ovenforstående løsning mht. (t). Der er bare det, at jeg har forsøgt og forsøgt at differentiere denne løsning, både i hånden og ved hjælp af et CAS - værktøj, og det er ikke lykkedes. Jeg har forsøgt at gøre mange ting og jeg tror måske at jeg på en eller anden måde skal have omskrevet selve løsningen før at jeg kan differentiere denne. 

Hvis der er en som kan hjælpe så vil det være rigitg godt.

Hej igen.

Jeg har ligesålige fået den ide, at man måske skal sætte en stor del af løsningen lig med A eller bare en eller anden konstant. (SE NEDEN UNDER)

A = squart(a²+b²) * cos(squart((c/I)-(r²/4*I²))*t-φ)

Dermed kommer der til at stå følgende

y(t) = A * e^-(r/2*I)

Jeg tænker at denne her er nemmere at differentiere end det andet udtryk. 

Jeg beder fortsat om lidt hjælp i form af en bekræftelse eller en afkræftelse om hvorvidt dette er rigtigt forstået.

Jeg er desværre begyndt at tro at noget af det som jeg skrev i forrige tråd ikke holder helt stik. For hvad med hensyn til (t)? Det er jo (t) som skal differentieres. 

Jeg tror nu at det må være sådan at 

squart(a²+b²)*e^-(r/2*I) = A

A er bare en eller anden konstant.

Så er det at jeg tror at man skal have omskrevet cos(squart((c/I)*(r²/4*I²))*t-φ) til e^i*ω*t-φ 

Hvor ω er lig med squart((c/I)-(r²/4*I²))

Men hvordan man gør dette ved jeg ikke. Jeg tror at jeg skal bruge eulers formel. Jeg beder fortsat om lidt hjælp til at afmysitificere alt dette.

Du har konsekvent været fedtet med at angive detaljer i opgaven.Dine mellemregninger mangler og ser ikke særlig rimelig ud. Så jeg foreslår at du smider alt hvad du har ud og starter forfra.

Jeg går ud fra at l, r k og F₀ er konstanter,

Prøv at gæt løsningen y = c*^iwt og sæt det ind i ligningen

Det giver på venstre side  c*konstant*e^iwt  Så er det bare at vælge c så den stemmer med højre side.

Det giver ikke den fuldstændige løsning til differentialligningen. Den fuldstændige løsning får du ved at løse den tilsvarende homogene løsning og addere den til en løsning til den homogene ligning

#7 Eksempler på "prøve af løsning":

Det vil sige, at "løsningen" er løsninger til begge diff.-ligninger.

Med forbehold for eventuelle relationer mellem konstanterne ser det indtil videre ikke ud som om dine løsninger er løsninger til din diff.-ligning.