Matematik

Ulighed med sinus

20. maj 2025 af theta2 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal vise, at:

$|x-sin(x)|\leq \frac{|x|^3}{6}$

Men jeg har lidt svært ved at komme i mål. Jeg har indtil videre kunne vise, at:

$|x-sin(x)|\leq |x|+|sin(x)|\leq2|x|$

Men jeg kan ikke rigtig komme videre herfra. Kan jeg få et hint?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. maj 2025 af M2023

#0. Må du bruge Taylor-approximation? I givet fald, så har man:

$sin(x) =x-\frac {x^3}{6}+\frac {x^5}{120}+o(x)$

Dette giver:

$\left| x-sin(x) \right|=\left|x-\left( x-\frac {x^3}{6}+\frac {x^5}{120}+o(x) \right ) \right|=\left| \frac {x^3}{6} \right| \cdot \left| 1-\frac {x^2}{20}+o(x) \right|$

I intervallet |x| < 1, så ved man, at 1 > |x|² > o(x). Heraf kan man udlede, at

$\left| 1-\frac {x^2}{20}+o(x) \right|<1,\;x\in\;]-1;1[$

Heraf følger resten let. Skal du bevise det for alle x eller kun i en omegn af 0? Du kan sikkert godt selv bevise det for x ≥ 1.

Skriv et svar til: Ulighed med sinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.