modulus for et komplekst tal

Jeg ved godt, at dette spørgsmål er dumt, men jeg kan simpelthen ikke få det til at hænge sammen. Når man ganger to komplekse tal i polære koordinater får man med additionsformler for cosinus og sinus et komplekst tal, som kan skrives vha. summen af de to argumenter og produktet af de to moduli. Rent geometrisk passer dette jo tilsyneladende også, men jeg kan bare ikke se, hvorfor man bare kan sige, at det gælder geometrisk, fordi at der står:
lz1llz2l(cos(arg(z1)+arg(z2))+isin(arg(z1)+arg(z2))
Tag for eksempel det komplekse tal:
3 +4i

som har modulus 5 og sin(arg) = 4/5 og cos(arg)=3/5
Så det hele kan skrives:
5(3/5 + i4/5)
Men kunne jo også omskrives til:
2,5(6/5 + i8/5)
Som jo også er et udtryk af den form, hvor man har faktoriseret noget ud. Selvfølgelig er dette komplet åndsvagt og 2,5 er jo ikke modulet for det tal som fremkommer på formen a +ib, når alt ganges ud, men min pointe er, hvordan man kan sige, at der nødvendigvis gælder, at bare fordi der står lz1l*lz2l udenfor parentesen, at dette så er modulus for vores tal. Ville det ikke kræve et geometrisk bevis også?