Vis at funktion er differentiabel i et punkt

Menes der ikke, at den anden gaffel er f(x) = x for x ≥ 1 (og ikke 3)?

Man kan med fordel benytte, at brøken for x < 1 kan forkortes:

f(x) = (1 - x²) / ((x-1)(x-3)) = (1-x)(1+x) / ((x-1)(x-3)) = (1+x) / (3 - x) , x < 1

Heraf ses, at f(x) → 1 for x → 1^- .

Endvidere ses, for x < 1,

f'(x) = (3 - x + 1+x) / (3 - x)² = 4 / (3 - x)² , og dermed ses, at

f'(x) → 1 for x → 1^- .

Da f(1) = 1, og f'(x) → 1 for x → 1⁺ , ser vi, at f(x) er både kontinuert og differentiabel i x = 1.

Okay, men min metode er vel ikke forkert?
Jeg tænkte godt over at forkorte den, mens så virker det for mig bare lidt som om man ganger og dividerer med 0 på samme tid, og det synes jeg er underligt. Man kan selvfølgelig sige, at resultatet i alle fald vil blive en funktion, som netop er defineret for alle R - også for 1, som før voldte problemer.

#0

I det vedhæftede dokument skal der byttes om på fortegnene i markeringerne for grænseværdierne. Her betyder

lim(...) for x → x₀^- , (x går mod x₀ fra venstre), at x går mod x₀ gennem negative tilvækster, dvs. gennem værdier af x, for hvilke x - x₀ < 0 ,

og tilsvarende betyder

lim(...) for x → x₀⁺ , (x går mod x₀ fra højre), at x går mod x₀ gennem positive tilvækster, dvs. gennem værdier af x, for hvilke x - x₀ > 0 .

#2

Man ganger jo ikke med 0 eller dividerer med 0, for der gælder jo x < 1 for det udtryk.

Edit: Ligemeget - fandt fejlen

Men noget andet: Når du differentierer f og viser at f ' går mod 1 for x->1, er det så ikke mere korrekt at opstille udtrykket:
lim x->1 (f(x)-f(1))/x-1 og så indsætte hhv. f(x) = (1 - x2) / ((x-1)(x-3)) og f(x) = x for x=1 og x<1? 

#6

Det er ikke mere korrekt, blot en anden fremgangsmåde. Funktionen er differentiabel for ethvert x < 1 , så hvis man kan vise, at f'(x) har samme grænseværdi for x gående mod 1 fra både venstre og højre, har man vist, at funktionen er differentiabel i x = 1.

Du viser i stedet, at differenskvotienten ud fra x = 1 har samme grænseværdi for h gående mod 0 fra både venstre og højre.

Der er noget jeg ikke forstår i svar#1 når du skriver:

f(x) = (1 - x2) / ((x-1)(x-3)) = (1-x)(1+x) / ((x-1)(x-3)) = (1+x) / (3 - x) , x < 1

hvorfor kan vi pludselig skrive (3-x) i nævneren når den før hed (x-3) ?

Er det bare mig der ikke helt forstår gaffelfunktioner, men står der ikke netop at når x er større eller lig med 1 så er funktionen defineret som f(x)=x, og denne funktion er vel ikke differantiabel i x=1 eller hvad?

#8

Fordi (1-x) / (x-1) = -1 .

#9

Funktionen f(x) = x er differentiabel overalt. Det, opgaven drejer sig om, er at vise, at de to funktionsudtryk, for x < 1, og for x ≥ 1 , har samme differentialkvotient for x → 1- og for x → 1⁺ .