2. Ordens differentialligning

     differentialligningen
                                              f ''(t) + 2λ·f '(t) + ω²·f(t) = 0
     har løsningen

                                              f(t) = A·exp(-λ·t)·sin(√(ω²-λ²)·t+β)

hvorfor

                                              my '' = -qy ' – ky

                                              y '' = -(q/m)·y ' – (k/m)y

                                              y '' + 2(q/(2m))·y ' + (k/m)y = 0

     har løsningen

                                              y(t) = A·exp(-q/(2m)·t)·sin(√((k/m)²- (q/(2m))²)·t + β) _{alle konstanter i SI-enheder}

specifikt

                                              y(t) = A·exp(-(1/2·t)·sin(√(1²- (1/2)²)·t + β)      

                                              y(t) = A·exp(-0,5·t)·sin((0,5√(3))·t + β) 

                                              y '(t) = 0,5A·exp(-0,5·t)·(√(3)·cos(0,5√(3)·t) - sin(0,5√(3)·t))

                                              y(0) = 0 = A·exp(-0,5·0)·sin((0,5√(3))·0 + β) = A·sin(β)   dvs β = p·π,
                                                                                                                                                                                     _{hvor p = 0 vælges}

hvoraf

                                              y '(0) = 0,5A·exp(-0,5·0)·(√(3)·cos(0,5√(3)·0) - sin(0,5√(3)·0))   =  2

                                              0,5A·1·(√(3)·1 - sin(0)) = 2

                                              0,5A·√(3) = 2

                                              √(3)A = 4

                                               A = 4/√(3)

konklusion:
                                              y(t) = (4/√(3))·exp(-0,5·t)·sin((0,5√(3))·t) ≈

                                              y(t) = 2,3094·exp(-0,5·t)·sin(0,86603·t)               

korrektion til #1

       alle konstanter i SI-enheder    rettes til   alle konstanter i SI-enheder på nær β

Tusind tak mathon :)

#3

Det du fremover skal gøre når du løser differentialligninger er:

1. Opstille den karakteristiske ligning, der i dit tilfælde ser således ud:

λ² + λ + 1 = 0                          - idet differentialligningen ser således ud: 1*y'' +1* y' +1* y = 0

2. Finde diskriminanten D.

D = b² - 4*a*c                        - I dit tilfælde er a = 1, b = 1 og c = 1

D > 0 : 2 reelle rødder.
D = 0 : Dobbeltrod.
D < 0 : 2 komplekse rødder.

I dit tilfælde er D = -3, dvs. D < 0.

3. Finde rødderne.

λ = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

I dit tilfælde:

λ₁ = -(1/2) + (i*√(3)) / 2
λ₂ = -(1/2) - (i*√(3)) / 2)        - λ₁ og λ₂ er komplekst konjugerede

4. Opstil udtrykket for den fuldstændige løsning.

For 2 komplekse rødder er y(t):
y(t) = e^at (C * cos(b*t) + D * sin(b*t))                             - Du kan også skrive det på fase formen som i #1.

y(t) = e^-(1/2)t (C*cos(t*√(3)/2) + D * sin(t*√(3)/2))        - Dette er den fuldstændige løsning.

5. Find konstanterne C og D. C findes ved at indsætte t = 0 i y(t).

y(t) = e^at (C * cos(b*t) + D * sin(b*t))                             - Lad os kalde denne her for (1)

y(t) = 1 * ((C * 1) + (D * 0))

y(t) = C                                                                                - Vi ved fra opgaveformulering at y = 0 ved t = 0.

0 = C

D findes ved at differentiere formel (1) og sætte de kendte værdier ind (y'(0) = 2, C = 0, t = 0).

D = 4/√(3).

6. Nu indtaster du de kendte værdier for C og D i (1) og får den partikulære løsning der opfylder at til t = 0 er y = 0 og y' = 2:

y(t) = 4/√(3) * e^-(1/2)t * sin(t*√(3)/2)

Please hjælp, i #3 forstår jeg ikke hvordan man ved differentation af formel 1 kommer frem til 4/sqrt3 .....!

#5

Du mener sikkert #4 og ikke #3.

Formel (1) er

y(t) = e^at (C · cos(b·t) + D · sin(b·t))  ,

der differentieret giver

y'(t) = a·y(t) + e^at·(-b·C·sin(b·t) + b·D·cos(b·t)) .

Betingelserne er y(0) = 0 , y'(0) = 2, og b = (√3)/2 , så

C = 0 ,

b·D = 2 , så

D = 2/b = 4/√3 .

Tusind tak :)

Hvis jeg må spørge om en ting mere... Opgave b) lyder således:

Antag stadig k = 1g/s^2, m = 1g. For en bestemt værdi af q er dæmpningen kritisk. Dette betyder at den karakteristiske ligning har en dobbeltrod. Bestem denne værdi q0, og ?nd dernæst (under antagelsen q = q0) ved hjælp af Maple den løsning som opfylder den samme begyndelsesbetingelse som før. Plot med Maple løsningerne fra (a) og (b) i et fælles koordinatsystem.

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg griber denne opgave an..? 

#7

Ved en dobbeltrod er diskriminanten for den karakteristiske ligning lig med 0.

Men hvordan bruger jeg det til at finde q0 ?  Sorry, er helt lost...