Matematik
Kontinuert funktion
Opgaven lyder:
Definer h: R2 \ {(0,0)} --> R ved
h(x,y)= (cos(x)-cos(y)) / (x2+y2)
Bestem H(x) := lim y->0 h(x,y), x∈R
for alle x∈R(også x=0). Er H en kontinuert funktion af x?
Hvad siger dette om mulighederne for at vælge en værdi c=h(0,0) sådan at h bliver kontinuert i hele R?
Jeg har bestemt H(x) := lim y->0 h(x,y), x∈R - som jeg får til (cos x -1)/x2
For at bestemme H(x) := lim y->0 h(x,y) for x=0 har jeg bestemt lim x-->0+H(x) og lim x-->0-+H(x) og set om disse giver samme grænse værdi. Her får jeg at begge giver grænseværdien -1/2 - hvilket betyder at det giver mening at tildele H(x) værdein 1/2 for x=0.
Herved kan vi slutte at H er en kontinuert funktion af x da vi har at H(x):=(cos x -1)/x2 , fordi cos x er kontinuer og x^2 er er kontinuert, - herved må udtrykket (cos x -1)/x2 også være kontinuert (dog er de ikke defineret for punktet (0,0)) . - Idet dét er vist at lim x-->0+H(x) og lim x-->0-+H(x) har samme værdi når x nærmer sig 0 hhv. fra højre og venstre må H(x) også være kontinuerlig i 0. Altså er H(x) en kontinuert funktion af x..
Er det ikke korrekt?
Dog er jeg i tvivl om det sidste spørgsmål.. og ved ikke helt hvordan jeg skal besvare dette.
Svar #1
23. oktober 2011 af peter lind
Den er nu også ret snedig. Vælger du at gå ind langs linjen x= y vil du få at h(x,x) = 0 x≠0. Ligegyldigt hvilken omegn du vælger vil funktionen indeholde værdier der er 0 og ifølge det du selv har beregnet vil der også være værdier tæt på ½ (eller er det -½. du er ikke klar på det punkt)
Svar #2
23. oktober 2011 af nej12 (Slettet)
Beklager, det er -1/2.. og endnu en rettelse: Hvad siger dette om mulighederne for at vælge en værdi c=h(0,0) sådan at h bliver kontinuert i hele R2?
Svar #3
23. oktober 2011 af nej12 (Slettet)
Men, det er vel muligt at vælge sådan en værdi idet at vi ved at H(x,y) er en kontinuert funktion af x. - herved vil H(y) også vel også være en kontinuert funktion af y..
Svar #4
23. oktober 2011 af peter lind
nej. det er den faktisk ikke. Det er en af de mærkelige ting man støder på, når man går til funktioner af flere variable, hvor din opgave er et godt eksempel.
Svar #5
23. oktober 2011 af nej12 (Slettet)
Men forstå ikke helt din forklaring på dette? kan du uddybe..
Svar #6
24. oktober 2011 af Vitoloco (Slettet)
Jeg kunne også godt bruge en uddybende forklaring, hvis nogle vil forklare det?
Svar #7
24. oktober 2011 af peter lind
Hvis du går nærmere ind på det vil du se at h(x,0) -> -½ for x -> 0 og h(0,y) -> ½ for y->0. Jeg kan desværre ikke uddybe det mere. Kendskerningen er at tæt på (0,0) antager funktionen helt forskellige værdier, så den er ikke kontinuert. Du kan evt. lave en graf for funktionen. Det kræver et program, der kan lave den slags. Hvis du ikke har et kan du hente gnuplot gratis på nettet.
Svar #8
24. oktober 2011 af andershorsted (Slettet)
Du kan vise grænseværdierne ved at erstatte cos med dens taylorudvikling.
f(x) = h(x, 0) = (cos(x) - 1) / x2
cos(x) kan erstattes af taylorudviklingen cos(x) = 1 - x2/2 + x2*e(x), hvor e(x) er en kontinuert funktion med e(x) -> 0 for x -> 0. Det giver
f(x) = ((1 - x2/2 + x2*e(x)) - 1) / x2
= (-x2/2 + x2*e(x)) / x2
= -1/2 + e(x)
-> -1/2 for x -> 0
Det betyder at hvis h(x, y) skal være kontinuert i hele R2, må der gælde at h(0, 0) = -1/2.
Derfor sætter vi nu h(0,0) = -1/2.
Ved at erstatte cos(y) med dens taylorudvikling ses at h(0,y) -> 1/2 for y -> 0. Konklusionen er at h(x,y) ikke er kontinuert i (0,0) da
h(0, y) -> 1/2 ≠ h(0,0) for y -> 0
Skriv et svar til: Kontinuert funktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.