Euklidsk geometri vs. vektorregning

Jeg har i meget meget lang tid undret mig over den ækvivalens, der er mellem geometrien og vektorregningen. Især fordi man nogen gange brugte geometri i beviserne, andre gange algebra, så var det højst utilfredstillende for mig, at jeg ikke kunne se, hvordan den euklidsk, geometriske tilgang til et problem var ækvivalent med en algebraisk. 
I dag har jeg så læst op til forelæsning i relativitetsteorien, og jeg græd næsten af glæde, da begrebet invarians for vektorer blev behandlet. Der fik jeg nemlig læst mig til, at man i euklidske vektorrum DEFINERER kvadratet på forskydningsvektoren som invariant over for rotation, og viser så, at alle egentlige vektorer kun eksisterer, hvis de transformerer ved en lineær homogen transformation ligesom forskydningsvektoren. Sidstnævnte har jeg ikke så meget mulighed for at forstå andet end intuitivt, men det leder mig til første spørgsmål. Vil jeg lære om dette, når jeg har lineær algebra om et halvt års tid? 
Så vidt jeg kan se fra ovenstående betyder det dog også, at f.eks. pythagoras set ud fra et algebraisk synspunkt egentlig bare er en definition- så man kunne jo passende spørge, hvorfor indfører man lige netop denne størrelse som den invariante i et euklidsk vektorrum? Er det fordi, at det er den eneste som giver mening i forhold til invarians ved en lineær homogen transformation? 
Og hvad vil det så sige for euklidsk geometri som man kender den? Er alle sætninger som pythagoras, ensvinklede trekanter osv. konsekvens af linearitet og invarians ved rotation.
Det her er bare undren, og meget af det er sikkert forkert, så hvis det er tilfælde, må I meget gerne korrigere mig alle de steder, hvor jeg opfatter matematikken forkert...