Finde tangenter til funktionen f

Start med at løse ligningen f'(x₀) = 3 . Herved findes x-koordinaterne til de røringspunkter, hvor grafen har en tangent med hældningskoefficient 3 .

            ...kender du ikke tangentligningen?

#1

Jeg er ikke helt med på hvordan jeg skal gøre ?

#2

Nej jeg kender ikke mere end det jeg har oplyst...

#3

Mathon spørger i #2, om DU kender ligningen for tangenten til grafen for en funktion i et givet punkt. Den bør være almen viden i forbindelse med løsningen af en sådan opgave.

                     f ’(x_o) = 3x_o² – 12x_o + 12 = 3              løs med hensyn til x_o

tangentligning₁
                                 y = f '(x_o1)·(x-x_o1) + f(x_o1)

tangentligning₂
                                 y = f '(x_o2)·(x-x_o2) + f(x_o2)

Ud fra det du skriver i #5 kan jeg så finde a-værdien ?

     løs først
                        f ’(x_o) = 3x_o² - 12x_o + 12 = 3

                                      3x_o² - 12x_o + 9 = 0

Okay, jeg er super glad for, at du prøver at hjælpe mig !

Men jeg føler mig lidt dum, når jeg ikke ved hvordan jeg skal gøre...

Matematik er ikke lige min vildt stærke side :/

Altså som du skriver i 2. linje her :

3xo2 - 12xo + 9 = 0

Hvordan skal jeg så gå frem derfra ?

2.gradsligningen
                                            3x_o² - 12x_o + 9 = 0             løses let af en elev i HHX 3. år

Nåeh.. Altså med at finde 0 punkter ved at sætte den ovennævnte funktion ind i nulpunktformlen ?

løs
                3x² - 12x + 9 = 0              _{( hvos   ^x  o forvirrer på 3. år )}

Tak for hjælpen. Jeg forsøger :-)

                          3x_o² - 12x_o + 9 = 0

                                x_o1 = 1      x_o2 = 3

beregn nu

tangentligning₁
                                 y = f '(x_o1)·(x-x_o1) + f(x_o1)

tangentligning₂
                                 y = f '(x_o2)·(x-x_o2) + f(x_o2)

Super tak ! 

Når jeg så skal beregne tangentligningerne, så sætter jeg selvfølgelig x01 og x02 værdierne ind på deres pladser. Men hvad med den originale x-værdi ? Hvad erstattes den med ?

#14

x er den uafhængige variable i tangentligningen. Ligesom y erstattes den ikke med noget.

Okay.

Så tangentligning 1 vil hedde:

y = f '(xo1)·(x-xo1) + f(xo1) 

Og så erstatter man alle x01 med 1 

Så det bliver:

y=f' (1)*(x-1)+f(1)

Og så sætter man vel 1 ind på x's plads i den originale funktion

Så bliver det:

y=(3*1^2-12*1+12)*(x-1)+(1^3-6*1^2+12*1-4)

y=3*x-1+3

y=3x+2

Eller er jeg helt gal på den ?

#16

Det er ikke helt galt; men du smider parentesen omkring (x-1) væk til sidst, og derfor bliver resultatet ikke korrekt.

I stedet for at gøre det helt uoverskueligt, kan man udføre mellemregningerne særskilt

f(1) = 1³ - 6·1² + 12·1 - 4 = 3 , og

f'(1) = 3·1² - 12·1 + 12 = 3 ,

hvorfor ligningen bliver

y = f'(1) · (x - 1) + f(1), dvs.

y = 3·(x-1) + 3 = 3x

Nåeh, ja det kan jeg godt se.

Nu giver det mening for mig. Mange tak.

Dvs. i tangentligning 2 gør jeg bare det samme, bare jeg sætter 3 ind i stedet for 1 ?

#18

Ja, og her ved man jo, at der også gælder f'(3) = 3 , da begge tangenter har hældning 3 .

reducer nedenstående ligninger til formen y = ax + b
 

                tangentligning₁
                                                  y = 3·(x-x_o1) + f(x_o1)     og    x_o1 = 1

                tangentligning₂
                                                  y = 3·(x-x_o2) + f(x_o2)     og    x_o2 = 3