Matematik
Bestem ligningerne for to tangenter.
En cirkel med radius 5 har centrum i (3,2).
Denne cirkel har to tangenter, der går gennem punktet (10,1).
a) Bestem en ligning for hver af disse tangenter.
jeg har udregnet normalvektoren til
7
-1
Hvis der kun var én tanget, var det nemt. Men nu ved jeg ikke hvad jeg skal... nogen der kan hjælpe?
Jeg har fundet frem til cirklens ligning som er (x-3)2 + (y-2)2 = 52 og ligningen for den ene tangent: 7x-y-18=0
Så skal jeg altså finde skæringspunktet? Og hvad så herefter...? Jeg er ikke helt sikker på hvornår jeg får ligningerne til de to tangenter?
Svar #1
27. november 2011 af Andersen11 (Slettet)
Hvordan har du bestemt den normalvektor?
Det angivne punkt (10,1) er et punkt uden for cirklen, som de to tangenter begge går igennem. Det er ikke et røringspunkt for tangenten med cirklen.
Svar #3
27. november 2011 af Andersen11 (Slettet)
Opstil først ligningen for den rette linie med hældningskoefficient a, som går gennem punktet (10,1) . Denne ligning er
y = ax + (1 - 10a)
Bestem dernæst de mulige skæringspunkter mellem denne rette linie og cirklen med ligningen
(x-3)2 + (y-2)2 = 52 .
Skæring kræver, at
(x-3)2 + (ax + (1-10a) -2)2 = 52
Hvis linien skal være tangent til cirklen, skal 2.-gradsligningen i x have netop een løsning. Bestem nu de værdier af a, for hvilke diskriminanten d for denne 2.-gradsligning er lig med 0 .
Svar #4
27. november 2011 af hansemad (Slettet)
Så har jeg fundet skæringspunkterne som hedder (2,19;2,67) og (3,52;6,65) ud fra cirklen ligning (x-3)2 + (y-2)2 = 52 og ligningen for den ene tangent y=7x-18.
hvordan kommer jeg videre herfra?
Svar #5
27. november 2011 af Andersen11 (Slettet)
Afstanden fra cirklens centrum C(3,2) til punktet P(10,1) er
|CP| = √(72 + 12) = √50 = 5√2
Da et røringspunkt R sammen med C og P danner en retvinklet trekant med CP som hypotenuse, fremgår det, at den retvinklede trekant CRP er ligebenet, hvorfor
|RP| = 5
De to røringspunkter er derfor R1(7,5) og R2(6,-2) , og de to tangenter er da
t1: y = (-4/3)x + 43/3 , og
t2: y = (3/4)x - 13/2
Svar #7
28. november 2011 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det følger af redegørelsen i #5, at firkanten CR1PR2 er et kvadrat med sidelængden 5.
Diagonalernes skæringspunkt er i punktet D(13/2 , 3/2) . Retningsvektoren for diagonalen CP er vektoren
a = (1/2)CP = (7/2 , -1/2) ,
og man finder stedvektorerne til punkterne C og P som vektorerne
OD ± a
Tilsvarende finder man stedvektorerne for kvadratets to andre vinkelspidser R1 og R2 som vektorerne
OD ± â = (13/2 ; 3/2) ± (1/2 ; 7/2) , dvs (7 ; 5) og (6 ; -2) .
Skriv et svar til: Bestem ligningerne for to tangenter.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.