Matematik

Differentialligningens karakteristiske ligning?

03. december 2011 af thomaasskoov (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg sidder med hovedet dybt begravet i min SRP omkring Svingninger og 2. ordens Differentialligninger, og i min opgaveformulering er "ekstra spørgsmål", altså det spørgsmål man ikke har snakket med vejlederen omkring:

- Redegør for differentialligningens karakteristiske ligning.

Jeg tror jeg er ved at finde ud af den karakteristiske ligning er, men det er som om der lige mangler en enkelt brik for at det falder helt på plads.

Hvis man fx. tager grundformlen for en homogen 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter:

y''+py'+qy=0

Hvis vi så siger at y(x) er e^(rx) hvor r er en konstant så kommer "løsningen" til at se ud som følger:

e^(rx)*(r^2+pr+q)

I denne Løsning må den karakteristiske ligning være:

x^2+px+q=0

Men hvorfor ?

- håber i kan føkge mig ;)

Tusind tak på forhånd!

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. december 2011 af peter lind

Der gælder 0 = y''+py'+qy = e^rx*(r²+pr+q) da e^rx ikke kan være 0 må r²+pr+q = 0, hvis e^rx skal være en løsning

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. december 2011 af Andersen11 (Slettet)

Hvis en funktion af formen y = e^rx skal være løsning i differentialligningen, skal der gælde

e^rx·(r²+pr+q) = 0

Ligningen skal gælde for alle x, og da e^rx > 0 for alle x, får man af nulreglen for et produkt, at ligningen

r² + pr + q = 0

skal være opfyldt. Det er en 2.-gradsligning i r.

Svar #3
03. december 2011 af thomaasskoov (Slettet)

Så man kan sige at differentialligningens karakteristiske ligning, er den den af løsningen som "afgøre" at forudsigelsen dvs. y''+py'+qy=0 bliver opfyldt?

Brugbart svar (1)

Svar #4
03. december 2011 af peter lind

Jeg vil hellere sige at den karakteristiske ligning, bestemmer for hvilken værdier af r e^rx er løsning til differentialligningen

Svar #5
03. december 2011 af thomaasskoov (Slettet)

Okay, jeg tror jeg har forstået det ;)

tusind tak for det!

Skriv et svar til: Differentialligningens karakteristiske ligning?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.