Lineær Alg. - Partiel afledede

Ved beregning af den partielle afledede ∂Q/∂p betragter man Q(p,q) som en funktion af p alene og betragter q som en konstant.

Jeg var mere interessede i at se et eksempel på en beregning af den partielle afledede hvori der indgår summering (Σ). Det er nemlig dét der irriterer mig.

#2

Her er

Q = ∑ⁿ_i=1 (p·t_i + q - y_i)² ,

så

∂Q/∂p = 2·∑ⁿ_i=1 (p·t_i + q - y_i)·t_i   ,

og

∂Q/∂q = 2·∑ⁿ_i=1 (p·t_i + q - y_i)

Ok, så man differentierer simpelthen bare det indenfor summeringen (∑) og lader summeringen stå.

Mange tak :)

Hej igen.

Jeg har endnu et spørgsmål, nu vedr. opgave c).

Når nu ligningssystemet skal skrives på matrixform, menes der så bare at jeg skal skrive det op som følgende?:

     p       ⁿ∑_i=1(t_iy_i)
M  q    = ⁿ∑_i=1(y_i)       ?


Hvis ikke, hvad skal jeg så gøre?
 

#5

Ja, det er det, der menes. Elementerne i matricen M kan også udtrykkes ved summer.

I opgave 2.1 d) har jeg beregnet de dobbeltafledede til at være;


∂²Q/∂p² = ⁿ∑_i=12t_i²

∂²Q/∂q² = 2n

∂²Q/∂q∂p = ⁿ∑_i=1t_i²

Og jeg skal bruge disse til at slutte at der er et minimum, mit spørgsmål er så, hvordan?


Jeg ved at:

∂Q/∂p ≠ 0   og   ∂Q/∂q ≠ 0


Og skal derfor til at vise at:

(∂²Q/∂p²) * (∂²Q/∂q²) > (∂²Q/∂q∂p)²     samt     (∂²Q/∂p²) > 0

men hvordan gør jeg det? Det er virkelig irriterende med de summeringer.

#7

Det drejer sig om at vise, at der er lokalt minimum i det stationære punkt, hvor netop

∂Q/∂p = 0 og ∂Q/∂q = 0

Man har

∂²Q/∂p² = 2·∑ⁿ_i=1 t_i² ,

∂²Q/∂p∂q = 2·∑ⁿ_i=1 t_i ,

∂²Q/∂q² = 2n .

Det er trivielt, at (∂²Q/∂p²) > 0 . At (∂²Q/∂p²) · (∂²Q/∂q²) > (∂²Q/∂q∂p)² følger af Cauchy-Schwarz .

#8

Problemet ved ∂Q/∂p = 0 og ∂Q/∂q = 0, er at:

∂Q/∂p = ⁿ∑_i=1 (2pt_i² + 2qt_i - 2y_it_i)

∂Q/∂q = 2nq + ⁿ∑_i=1 (2pt_i - 2y_i)

I hvilket stationært punkt vil det gælde at de begge er 0? Jeg er stået virkelig af, lidt mere hjælp please.

Ligningssystemet

∂Q/∂p = 0

∂Q/∂q = 0

er et lineært ligningssystem i de to variable p og q , og det har netop een løsning, når dets determinant er forskellig fra 0 . Du har selv antydet ligningssystemet i #5.

Jeg er ved at give op, jeg kan simpelthen ikke forstå det.

ⁿ∑_i=1 (2pt_i² + 2qt_i - 2y_it_i) kan kun blive 0 når t_i = 0

og

2nq + ⁿ∑_i=1 (2pt_i - 2y_i) kan aldrig nongensinde blive 0 (kun i det tilfælde hvor t_i eller p er 0 og 2y_i = 2nq)

#11

Nej, det er helt forkert sluttet. Det skal betragtes som et lineært ligingssystem i de to ubekendte p og q, hvor koefficienterne beregnes som summer af de forskellige momenter af t_i .

Ligningen ∂Q/∂p = 0 bliver så

p·∑ⁿ_i=1 t_i² + q·∑ⁿ_i=1 t_i = ∑ⁿ_i=1 y_i·t_i .

mens ligningen ∂Q/∂q = 0 bliver

p·∑ⁿ_i=1 t_i + q·n = ∑ⁿ_i=1 y_i

Man har således to ligninger i de to ubekendte p og q , som man så let kan løse.

#12 Og det er hvad jeg har skrevet i #5, vil det så sige at (∑ⁿ_i=1 y_i·t_i , ∑ⁿ_i=1 y_i) er det stationære punkt du bad mig lede efter?

#13

Nej, man skal løse ligningssystemet i p og q.

Vil det sige jeg skal gøre følgende?

p = (∑ni=1 yi·ti - q·∑ni=1 ti) / ∑ni=1 ti2

q = (∑ni=1 yi - [(∑ni=1 yi·ti - q·∑ni=1 ti) / ∑ni=1 ti2]) / n

?

Altså, isolér p, sæt ind i ligning for q, løs q, find p?


Og har lige et spørgsmål mere, hvordan viser jeg at determinanten ac - b² > 0 ?

#15

Ja, der er flere måder at løse ligningssystemer med 2 ubekendte på.

At determinanten er ≠ 0 fremgår jo af #8.

#16

Ok tak.

Men jeg skal jo finde ud af om determinanten er mindre eller større end nul, det er ikke interresant at vide at den er forskellig fra nul.


Og forresten, er ( ∑ⁿ_i=1 (2t_i) )² det samme som ∑ⁿ_i=1 (2²t_i²)   ?

#16

jeg har tastet ligningssystemet ind i Maple og lod den løse for q og p, kan det passe at p = 0 og q = 0? Eller er der en fejl?

#17

Det er da mindre væsentligt med fortegnet. At determinanten er forskellig fra nul viser, at der er netop een løsning.

Og, nej, de to udtryk, du angiver til sidst, er ikke det samme. Det første er kvadratet på en n-leddet størrelse, mens udtrykket til højre er summen af n kvadrater.

#18

Det er ikke korrekt, at p = 0 eller q = 0.

Løsningen er

p = (n·∑y_i·t_i - ∑t_i · ∑y_i) / (n·∑t_i² - (∑t_i)²) ,

q = (∑t_i² · ∑y_i - ∑t_i · ∑y_i·t_i) / (n·∑t_i² - (∑t_i)²)

Dette er løst pr. håndkraft.