Bevis: Homogen 2. ordens diff.lign.

Hvis de var proportionale, ville forholdet mellem dem være en konstant.

Og hvad betyder det for sammenhængen, at forholdet mellem dem er konstant? Kan det ikke godt være konstant og forskellig fra nul? Jeg er ikke helt med. En pædagoisk uddybning ville være påskønnet :)

Lad os kalde de to løsninger ψ og φ , og lad os antage, at de ikke er 0 . Vi har da

ψ'' + pψ' + qψ = 0 , og
φ'' + pφ' + qφ = 0 , hvoraf

φψ'' + pφψ' + qφψ - (ψφ'' + pψφ' + qψφ) = 0 , eller

φψ'' - ψφ'' + p(φψ' - ψφ') = 0

Kalder vi W(t) = φψ' - ψφ' , har vi dermed

W'(t) = -p·W(t)

Ok. Jeg skal lige være helt sikker. Er W(t) = wronskideterminanten?

Jeg må være ærlig og indrømme, at jeg ikke helt forstår, hvad det er, du har vist. Jeg har en næsten tilsvarende udledning i min bog. Men der vil de vise, at når ψ og φ er løsninger til den homogene ligning, da er wronskideterminanten løsning til

w' = a*w

hvor w= wronskideterminanten. Dette betyder så, at wronskideterminanten for funktionsparret er af formen k*e^-ax . jf. 1. ordens diff. ligning. Dette betyder så, at wronskideterminanten er forskellig fra 0.

Jeg forstår bare ikke, hvordan din udledning er et svar på mit spørgsmål. Kan du forklare det nærmere og med små sidebemærkninger. På forhånd tak

#4

Ja, W(t) er Wronski-determinanten. Jeg forsøgte at skubbe dig lidt i gang, og du har jo selv argumentet til at køre færdig.

Hvis φ og ψ ikke er proportionale (og de antages ikke-0), er φ/ψ ikke konstant, og dermed er

(φ/ψ)' ≠ 0 , dvs

(φ'ψ - φψ')/ψ² ≠ 0 ,

og dermed ses

φ'ψ - φψ' ≠ 0 .

Måske er det blot det, der menes, og derfor kunne det udelades i teksten.

I min bog er der følgende sætninger (der er flere inden)

sætning 1

Når y₁ og y₂ er to løsninger til differentialligningen (her står der blot løsninger, hvorfor siger de intet om ikke proportionale?)

y''+ay'+by = 0

så er deres wronskideterminanten w[y₁,y₂] løsning til differentialligningen

w' + aw = 0

dvs. w[y₁,y₂] er af formen ke^-ax, hvor k er en konstant.

Så kommer der en sætning om den fuldstændige løsning, hvor de siger, at y₁ og y₂ udspænder den fuldstændige løsning, hvis wronskideterminanten w[y₁,y₂] er forskellig fra nul.

Efter denne sætning står der: Den følgende sætning (sætning 3) vil vi ikke vise, men den kan benyttes til at afgøre om y₁ og y₂ er den fuldstændige løsning.

 sætning 3

Når y₁ og y₂ er to ikke-proportionale løsninger til differentialligningen (her nævner ikke-proportionale)

y''+ay'+by = 0

så er deres wronskideterminant forskellig fra nul

Jeg er lidt forvirret. Har de ikke i sætning 1 fundet ud af, at wronskideterminanten for y₁ og y₂ er forskellig fra nul? (jeg ved godt de ikke siger noget om ikke-proportionale løsninger. Kan du forklare mig, hvordan tingene hænger sammen?

Mange tak for din hjælp

#6

Den første sætning taler om to løsninger til diff.lign. og den viser, at løsningernes Wronski-determinant, har den viste form; men den garanterer ikke, at w ≠ 0 .

Den anden sætning siger, at hvis de to løsninger er lineært uafhængige og dermed udspænder løsningsrummet, så er deres Wronski-determinant w ≠ 0 .

Den tredje sætning siger, at for to ikke-proportionale løsninger, gælder, at deres Wronski-determinant w ≠ 0 . Dette sidste viste jeg i #5; det gælder for to ikke-proportionale funktioner, uanset om de er løsninger i differentialligningen eller ej.

De tre sætninger giver tilsammen et redskab til at afgøre, om to løsninger til diff.ligningen udspænder den fuldstændige løsning. Enhver løsning til diff.lign. kan skrives som en linearkombination af to ikke-proportionale løsninger til diff.lign.

Hold kæft hvor overså jeg det mest vigtige i sætning 1: men den garanterer ikke, at w ≠ 0

Nu har jeg fuldstændig styr på det! Tak :)

Eller de formulerer faktisk 2. sætning lidt anderledes, idet de siger:

Hvis vi har to løsninger (de siger bare løsninger) til differentialligning, så udspænder de den fuldstændige løsning, hvis wronski-determinanten er forskellig fra nul.

Skrevet "matematisk":

to løsninger ⇔ wronskideterminant forskellig fra nul ⇒ fuldstændige løsning

Din måde er, som jeg har forstået:

to løsninger ⇔ fuldstændige løsning ⇒ wronskideterminant forskellig fra nul

Eller er det helt forkert?

#9

Det er din formulering, der er korrekt. Jeg fik vendt pilen den gale vej i min formulering. Her er så den bedre formulering af #7.

Den første sætning taler om to løsninger til diff.lign. og den viser, at løsningernes Wronski-determinant, har den viste form; men den garanterer ikke, at w ≠ 0 .

Den anden sætning siger, at hvis Wronski-determinanten w ≠ 0, så er de to løsninger lineært uafhængige og udspænder dermed løsningsrummet.

Den tredje sætning siger, at for to ikke-proportionale løsninger, gælder, at deres Wronski-determinant w ≠ 0 . Dette sidste viste jeg i #5; det gælder for to ikke-proportionale funktioner, uanset om de er løsninger i differentialligningen eller ej.

De tre sætninger giver tilsammen et redskab til at afgøre, om to løsninger til diff.ligningen udspænder den fuldstændige løsning. Enhver løsning til diff.lign. kan skrives som en linearkombination af to ikke-proportionale løsninger til diff.lign.