svær opgave, matricer...

Man skal løse differentialligningssystemet

y' = A y ,

hvor y = (y₁ , y₂)^T og A er en 2x2 matrix, hvorom det oplyses, at

A = P D P^-1 ,

hvor D er en diaginalmatrix.

Heraf ses, at

P^-1 y' = D P^-1 y

der er et differentialligningssystem i P^-1 y , og da D er en diagonalmatrix, er systemet ækvivalent med 2 ikke-koblede 1.-ordens differentialligninger.

hvor får det her udtryk fra: 

P^-1 y' = D P^-1 y 

altså hvorfor ganger du med P^-1 med y'

#2

Udtrykket kommer jo af

y' = A y

ved at gange med P^-1 fra venstre på hver side. Derved er ligningssystemet skrevet på formen

u' = D u

der let kan løses, da D er en diagonalmatrix. Da u = P^-1 y , finder man y = P u , hvori så indsættes den fundne løsning.

jeg forstår det ikke stadig. tror ikke engang vi har lavet sådan et spørgsmpl :S 

kan du prøve at forklare hvordan jeg skal løse denne? 

#4

Løs ligningssystemet

u' = D u

Det er ækvivalent med de to differentialligninger

u₁' = 3u₁ og

u₂' = 2u₂

hvis fuldstændige løsning let kan findes. Dernæst findes den fuldstændige løsning til y' = A y ved at benytte

y = P u

og konstanterne fastlægges så ud fra begyndelsesbetingelserne.

jeg laver lige opgaven som jeg tror. 

gider du så kigge på det bagefter? 

sådan. er det så ikke meningen at hhv. y₁ = -7 og y₂ = 4. og der isoleres mht. a og b? 

du er vel forhåbentlig ikke gået i seng? 

jeg skal bruge hjælp til at komme videre.... 

der er vel ikke andre der kan hjælpe????? 

HOV - jeg er kommet til at gange A * u i stedet for P * u... 

i #7 

jeg får det til 

y₁ = - 4e^3t - 3e^2t 

y₂ = 2e^3t + 2e^2t 

ved ikke om resultatet er rigtigt, da selv en enkelt småfejl giver et helt forkert resultat, men har i hvert fald fat i fremgangsmåden nu. nu hvor jeg tænker over det, er det jo meget enkelt... 

eller jeg har jo nok regnet rigtigt da resultatet ellers ikke ville passe :-) 

#7

Man finder jo, som du selv har gjort, at

u = (k₁·e^3t ; k₂·e^2t), hvoraf

y = P u = (-2u₁ - 3u₂ ; 1u₁ + 2u₂} = (-2k₁·e^3t -3k₂·e^2t ; k₁·e^3t + 2k₂·e^2t)

Da der skal gælde y(0) = (-7 ; 4) , fås

(-7 ; 4) = (-2k₁ -3k₂ ; k₁ + 2k₂), der giver (k₁ , k₂) = (2 , 1) , og dermed

y = (-4·e^3t -3·e^2t ; 2·e^3t + 2·e^2t)

Du har tilsyneladende brugt A i stedet for P ved beregningen af y fra u .