Areal og vinklen

Dit svar på arealet gælder kun, hvis firkant ABCD er et parallelogram.

Først skal man godtgøre, at de fire punkter alle ligger i samme plan. Del dernæst firkanten i to trekanter, f.eks. ved diagonalen AC og beregn så arealet af de to trekanter ABC og ACD.

Formlen for beregning af vinklen mellem to vektorer gælder også for vektorer i rummet. Bestem derfor vinklen mellem de to vektorer BA og BC .

Mange tak for dit svar.

At dele firkanten i to trekanter er en god ide!

Hvordan kan man vide, at firkanten ABCD er et parallelogram (hvis man undgår at se på figuren)?

#2

For et parallelogram ABCD gælder der om vektorerne, at

AB = DC og AD = BC

#3

Forstået! Mange tak!

#4

Det er faktisk tilstrækkeligt, at een af de to betingelser i #3 er opfyldt.

Hvis AB = DC , har man

AD = AC + CD = AC - DC = AC - AB = BA + AC = BC ,

og hvis AD = BC , har man

AB = AC + CB = AC - BC = AC - AD = DA + AC = DC .

Der gælder med andre ord

AB = DC  ⇔  AD = BC

Mange tak, fordi du bruger du tid på at forklare mig detaljeret! .. Jeg er kommet videre til den samme opgave, jeg håber du har tid til at hjælpe mig med det. Der står :

"Agrænsingen af overdækningen kommer til at bestå af trekant A₁ B₁ D₁ og trekant B₁C₁D₁. Punkterne A₁, C₁ og D₁ ligger 4 meter lodret over henholdsvis punkterne A, C og D, mens punkt B₁ ligger 3.5 meter lodret over punkt B."

Koordinaterne til punkterne A₁, B₁, C₁, og D₁ skal angives

Mit bud: A₁(x₁ ; y₁ ; (z₁ + 4)) det samme alle punkterne undtagen B₁, da B₁(x₂ ; y₂ ; (z₂ + 3.5))?

Bestemmelse af afstanden fra punkt B₁ til punkt D₁

Mit bud: Jeg har styr på det.

Bestem ligningen for den plan, der indeholder trekant B₁C₁D₁.

Mit bud: Jeg har ikke rigtigt styr det. Der står i bogen: a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0.

hvor n = (a ; b ; c) eller P₀P•n = 0

#6

Ja, hvis man kender koordinaterne for punkterne A, B, C, D, lægger man som nævnt 4 til z-koordinaterne for punkterne A, C og D , og 3,5 til z-koordinaten for B. Det forudsætter naturligvis, at z-aksen er parallel med lodret retning.

Vedr. planen, der indeholder trekant B₁C₁D₁ : Bestem først en normalvektor n til planen. Som normalvektor kan man benytte vektoren n = B₁C₁ × B₁D₁ . Som punktet P₀(x₀,y₀,z₀) kan benytte ethvert af punkterne B₁, C₁, D₁ , ligegyldigt hvilket af dem.

Hvis man har fundet ud af, at n = [-2.5; 0 ; -15]

med punktet P₀(x₀ ; y₀ ; z₀)    fx    B₁(0;0;3.5)

Er lignengen så dermed   -2.5(x-0) + 0(y - 0) -15(x - 3.5) = 0  ⇔ 52.5 - 17.x = 0 ? ..

#8

Nej, det skal være

-2.5(x-0) + 0(y - 0) -15(z - 3.5) = 0

Whoops .. Nu kan jeg se fejlen!

Mange tak for hjælpen. :)

Undskyld jeg spørger... Hvis vi går tilbage til #7,

Hvordan kan man være sikker på, at det skal være

n = B₁C₁ × B₁D₁ ?

Hvad med n = C₁B₁ × C₁D₁ eller n = D₁A₁ × D₁C₁ ?

Er der nogen bestemte regler til, hvordan det skal gøres eller ? ..

#11

Alle tre vektorer kan benyttes som normalvektor for den pågældende plan, da de er parallelle med hinanden. Hvis en af dem er lettere at beregne end de andre, kan man så med fordel vælge den.

De er helt forskellige,

n = B₁C₁ × B₁D₁ = [2.5 ; 0 ; 15]        (bemærk, jeg har lavet fejl i #8)

n = C₁B₁ × C₁D₁ = [-2.5 ; 0; - 15]

n = D₁A₁ × D₁C₁ = [0 ; 0 ; 20]

For sikkerhedsskyld, har jeg vedhæftet et billede

Ups .. forkert billede.

#13

Det var min fejl i svaret i #12. Jeg havde overset, at du havde puttet et A₁ ind i den sidste krydsvektor. Hvis det drejer sig om at finde en normalvektor til planen der indeholder trekant B₁C₁D₁ , vil punktet A₁ ikke naturligt indgå i betragtningerne. Din tredje vektor bør så være n = D₁B₁ × D₁C₁ , og du vil finde ved beregning, at de tre vektorer er parallelle. De to første vektorer i #13 er jo parallelle.

#16

n = D₁B₁ × D₁C₁ = [2.5 ; -0 ; 15] .. Meget bedre.

Yes jeg har også overset mine fejl, at jeg ikke har "læst" ordenligt igennem .. Men tak for din tid! ..