Hvornår er de to lønstigninger ens?

sæt de to udtryk lig med hinanden og find x (antal måneder før lønstigningerne er ens)

700x + 40000 = 40000·1,01^x

Så langt er jeg nået. Jeg kan bare ikke finde ud af, hvad jeg så skal gøre efter jeg har isoleret x, da den ene ligning er en potenssammenhæng og den anden er en eksponentiel sammenhæng.

Den ene ligning er lineær og den anden eksponentiel. Vi kan ikke isolere x men må løse numerisk.

Forkortet når vi frem til                  400·(1,01^x - 1) - 7·x  =  0

                                                                                                                            104 < x < 105

eller brug CAS-værktøj, - se vedhæftede

Mmm... dejlige penge... :-)

- kan næsten mærke dem

Vedhæftet

Man skal beregne, hvornår lønstigningerne er ens, ikke hvornår månedslønnen er ens efter de to aflønningsformer.

Den lineære aflønning har en konstant lønstigning på 700kr hver måned.

Den eksponentielle aflønning har en månedlig lønstigning på 0,01·Y , så man skal løse ligningen

0,01·40000·1,01^x = 700 , eller

1,01^x = 700/400 = 7/4 , eller

x = log(7/4) / log(1,01) ≈ 56,24 (måneder), altså efter 57 måneder eller knapt 5 år.

Man skulle forvente, at løsningen til    (40000·1,01^x)' = 700   skulle give samme resultat, som # 7.

Der er en lille faktorforskel, idet   (40000·1,01^x)' = 700      ⇒      ln(1,01)·40000·1,01^x  =  700

sammenlignet med                                                                           0,01·40000·1,01^x   =  700

(ln 1,01  =  0,009950)

#8

Den lille forskel ligger i, at man jo ikke kontinuerligt får udbetalt (40000·1,01x)' , men derimod månedvis får

_a∫^a+1 (40000·1,01^x)' dx  = 40000·1,01^a·(1,01 - 1) = 0,01·40000·1,01^a

Begge lønfunktioner

f₁(x)  =  700·x + 40 000  og

f₂(x)  =  40 000·1,01^x

giver reelt kun mening for   x ∈ Z₊ ∪ { 0 }   , da lønudbetalingen ikke forekommer kontinuerligt, som der tidligere er nævnt. f₁ og f₂ er begge differentiable og integrable funktioner, og kan for så vidt stå til rådighed for ∀ x ∈ R . Det giver da kun mening at differentiere funktionerne for de hele positive x og nul, men problemet er så, at de ikke er differentiable.