Matematik
Fuldstændige løsning af: m*x'' (t)+ k*x(t) = P_0*sin*(ω*t)* - hastesag!
Hej derude.
Jeg er lige i gang med med en matematik/fysik opgave, der går ud på, at jeg skal havde fundet den fuldstændige løsning til differentialligningen: m*x^'' (t)+k*x(t)= P_0*sin*(ω*t)
Jeg skal altså havde fundet den inhomogene og den homogene løsning, før jeg kan finde den fuldstændige løsning til.
Indtil videre har jeg fundet den inhomogene, og er nået til denne løsning:
Gæt en løsning:
c*sin(ω*t)=x(t)
c*cos(ω*t)*ω= x'(t)
-c*sin(ω*t) ω*ω= x^'' (t) -c*sin (ω*t)*ω^2
m*(-c* ω^2 * sin ωt)+k* c* sin (ω*t)= P_0*sin(ω*t)
-m* c* ω^2* sin (ω*t)+k*c*sin (ω*t)=P_0* sin (ω*t)
[-m*c*ω^2*sin (ω*t)+ k* c* sin* (ω*t) = P_0*sin (ω*t)] / sin (ω*t)
-m* c* ω^2+ k* c= P_0
c=P_0/ (k-m*ω^2 )
x(t)= P_0/ (k-m*ω^2 )*sin(ω*t)
Nu mangler jeg at finde den homogene af m* x''(t)
Jeg har på fornemmelsen jeg skal bruge c_1*cos(ω*t) + c_2 * sin (ω*t), men hvordan?
Det kunne være dejligt at få svar hurtigst muligt, da opgaven snart skal afleveres!
På forhånd tak.
Svar #1
11. februar 2012 af peter lind
Dit gæt er ikke rigtig. Se løsningerne nederst på http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#anden NB der kommer et problem med den inhomogene løsning såfremt k = m*ω2 I det tilfælde vil amplituden vokse lineært med tiden. Fænomenet kaldes resonans
Svar #4
11. februar 2012 af sarahasem
Super!
Nederst på linket når de frem til at den fuldstændige løsning til y'' = -k^2y er:
f(x) = c1cos(kx) + c2sin(kx)
Hvilket jo stemmer meget godt overens med mit gæt, som var:
x(t) c_1*cos(ω*t) + c_2 * sin (ω*t)
Hvor jeg har valgt at sætte ω ind istedet for konstanten k, og kalder min funktion x(t) istedet for f(x).
Jeg må ærlig talt indrømme jeg ikke kan se fejlen. Kan du evt. uddybe dig? :-)
Svar #5
11. februar 2012 af peter lind
Hvis du satte k = ω vil det svare til at du satte k=m*ω2 i din oprindelige ligning. Dette er et meget specielt tilfælde og det vil betyde at din løsning til den inhomogene ligning som nævnt i #1 ikke holder.
Svar #6
12. februar 2012 af sarahasem
Så bare for at være helt 100 på det her. En fuldstændig løsning til:
m*x^'' (t)+k*x(t)= P_0*sin*(ω*t)
Som jeg indtilvidere er nået frem til:
x(t)=p_0/ (k- m· ω^2 ) · sin(ω·t) + c_1· cos ( ω·t) + c_2· sin (ω·t) <=>
x(t)= p_0/ (k-m·ω^2 )· sin(ω·t) +A·sin (ω·t+φ)
Holder ikke?
Svar #7
12. februar 2012 af peter lind
Det er korrekt. Du kan dog nemt ændre din løsning så den holder
Svar #8
12. februar 2012 af sarahasem
Hmm.. det var da træls. :-(
For at være lidt ekstra besværlig, er det så muligt, at du kom med et eksempel på, hvordan jeg kan nå at redde den?
Har læst dine svar op til adskillelige gange, og må ærlig talt indrømme, at jeg ikke er helt med på hvad du præcis mener
Svar #9
12. februar 2012 af peter lind
Af det foregående gætter jeg på at k>0. du kan så sætte ω0 = kvrod(k/m). En fuldstændig løsning vil så være x(t)= p_0/ (k-m·ω2 )· sin(ω·t) +A·sin (ω0·t+φ) Det forudsætter at ω≠ω0.
Skriv et svar til: Fuldstændige løsning af: m*x'' (t)+ k*x(t) = P_0*sin*(ω*t)* - hastesag!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.