andre typer koordinatsystemer

Her kommer et lidt langt spørgsmål, men håber I bærer over.

Jeg har om andre typer koordinatsystemer - navnligt sfæriske og cylindriske - og hvordan man skifter mellem kartesiske og disse. Problemet synes jeg bare lidt, er hvordan man skal definere basisvektorerne for noget der afhænger af en vinkel. Man kunne jo forestille sig, at man ligesom med længder udtrykte alle vinkler som multiple af denne. Lad os for eksempel sige, at vi i cylindriske koordinater havde enhedsvektorer (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) svarende til hhv. vinklen φ og længderne z og ρ. Problemet er jo så bare desværre, at vinklen ikke på samme måder som 3 længder adlyder linearitetsbetingelser. 

Derfor gør min bog noget andet, som jeg synes er lidt svært at forstå. De laver en retningsvektor r udtrykt ved Φ, ρ og z og adleder den partielt mht. til de tre koordinater således, at man får et ortogonalt sæt enhedsvektorer. Overgang fra kartesiske koordinater til denne basis benævnes så overgang til cylindriske koordinater. MEN! Er det ikke forkert at sige? For basen er jo stadig udtrykt med hensyn til et eller andet generaliseret kartesisk koordinatsystem. Eller det er nok forkert udtrykt, men jeg håber I kan følge min tankegang. Det virker som om, at det kartesiske koordinatsystem er meget mere fundamentalt end de andre, eller er det mig, der forstår matematikken forkert?