Matematik
Geometri og vektorer
Jeg har et spørgsmål ang. opg. 2.008. og 2.009 i ''Vejledende eksempler...' STX A-NIVEAU 2008. Jeg har søgt efter besvarelser/hjælp herinde, men har ikke rigtig fundet noget som jeg kunne bruge til noget.
Det drejer sig om følgende opgaver:
2.008. En cirkel er givet ved ligningen x2+4x+y2-6y-23=0.
a) Bestem afstanden fra cirklens centrum til linjen l men ligningen 3x-4y-4=0. Her har jeg fået resultatet= 22/5
b) Cirklen har to tangenter t1 og t2, der er paralle med linjen l. Bestem en ligning for hver af disse to tangenter.
Jeg kan godt se at tangenter må have samme normalvektor n=(3, -4) som l. Men herefter går jeg simpelthen i stå. Håber der er nogen, der kan hjælpe mig ??
Den anden opgave lyder således:
2.009. I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a=(t, t+1) og b=(-t, t+1), hvor t er et tal.
a) Bestem for t=2 arealet af det parallellogram, der udspændes af vektorerne. Resultat = 12.
b) Bestem for t=2 koordinatsættet til projektionen af b på a. Resultat = ba=(10/13, 15/13)
c) Bestem de værdier af t, for hvilke vinklen mellem vektorerne a og b er 60º. Her har jeg har jeg løst ligningen for vinklen mellem de to vektorer som en andengradsligning og fundet to løsninger t=1 og t=-1/2. Men når disse indsættes for jeg ikke vinklen til 60 º..Nogen der kan hjælpe ?
På forhånd tak
Svar #1
22. februar 2012 af peter lind
2008 b Kald cirklens centrum for C. Tangenternes røringspunkt R med cirklen kan findes af OR = OC± n*r/|n|. hvor r er cirklens radius
2009 c Du skal bruge a·b = |a||b|cos(v) Hvad har du gjort?
Svar #2
22. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
2.008
Bestem først cirklens centrum C(a,b) og radius r, ved kvadratkomplettering af leddene i ligningen:
x2 +4x +y2 -6y -23 = 0 , dvs
(x + 2)2 -22 + (y -3)2 -32 -23 = 0 , og dermed
(x + 2)2 + (y -3)2 = 23 + 22 + 32 = 36 = 62 ,
dvs. centrum er C(-2;3) og radius er r = 6 .
Afstanden fra cirklens centrum til linien l med ligningen 3x -4y -4 = 0 er da
d(C,l) = |3·(-2) - 4·3 -4| / √(32 + 42) = 22/5 .
En normal vektor til linien l er enhedsvektoren n = (3/5 ; -4/5) . En stedvektor til de to røringspunkter for tangenter til cirklen, der er parallelle med linien l , er
OP = OC ± rn = (-2 ; 3) ± 6·(3/5 ; -4/5) , dvs
OP1 = (-2 +18/5 ; 3 -24/5) = (8/5 ; -9/5) og
OP2 = (-2 -18/5 ; 3 +24/5) = (-28/5 ; 39/5)
hvor P1 og P2 er de to mulige røringspunkter.
Svar #3
22. februar 2012 af mathon
Cirklen
(x+2)2 + (y-3)2 = 62
har to med linjen L paralle tangenter
t: 3x - 4y + c = 0
t1: (3·(-2) - 4·3 + c1) / 5 = 6 ⇔ c1 = 48
og
t2: (3·(-2) - 4·3 + c2) / 5 = -6 ⇔ c2 = -12 da
centrum ligger i hver sin tangenthalvplan set i forhold til normalvektor [3,-4]'s retning
hvoraf
t1: 3x - 4y + 48 = 0
t2: 3x - 4y - 12 = 0
Svar #5
22. februar 2012 af Chp4272 (Slettet)
# 2:
b) Det vil jeg lige prøve!
c) Jeg har ud fra cosv=a*b/|a||b| fundet at, cos 60=2t+1/2t2+2t+1, dvs. 2t2+2t+1>0. 2t2+2t+1=2(2t+1)=4t+2. Jeg har fundet løsningerne til 2t2-2t-1=0 til t=1 og t=-1/2.
Dermed har jeg fået to sæt vektorpar: a1=(1,2) a2=(-1/2,1/2), b1(-1,2), b2=(1/2,1/2). Jeg har så med disse vektorer efterprøvet om vinklen mellem disse gav 60, hvilket det ikke gjorde.
Svar #6
22. februar 2012 af Chp4272 (Slettet)
# 3: TUSIND TAK:) Jeg havde også fået samme resultater bortset fra at jeg havde glemt negativt fortegn foran 6 den ene gang.
Svar #7
22. februar 2012 af peter lind
Det er din løsning af andengradsligningen, der er forkert Du mangler iøvrigt nogle parenteser i brøken efter cos 60
Svar #8
22. februar 2012 af Chp4272 (Slettet)
#7. Det har du da ret i, nu får jeg t1=-(3^(1/2)-1))/2) og t2=(3^(1/2)+1)/2. Er det resultatet ?
Svar #9
22. februar 2012 af mathon
2.009. I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a = [t, t+1] og b = [-t, t+1], hvor t er et tal
a2 = b2 = 2t2 + 2t + 1 a·b = (2t+1)
|a+b|2 = 4(t+1)2 |a-b|2 = 4t2
|a+b|2 = a2 + b2 + 2·a·b·cos(v)
|a-b|2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(v) nederste ligning subtraheres fra øverste
|a+b|2 - |a-b|2 = 4·a·b·cos(v)
4(t+1)2 - 4t2 = 4·(2t+1)·cos(60º)
(t+1)2 - t2 = (2t+1)·(1/2)
(2t+1) = (2t+1)·(1/2)
(1/2)·(2t+1) = 0
t = -(1/2)
Skriv et svar til: Geometri og vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.