Ubekendt vinkel

2F = 4FcosT

cosT = ½

T = 60 gr.

Den anden efter sanme opskrift

;-)

#1

Hm, det var ikke lige det jeg fiskede efter. Jeg er interesseret i, hvornår eller inden for hvilket interval funktion 1) er større end funktion 2) og omvendt.

Det fremgik SLET ikke, af dit spørgsmål  ;-)

#3

Beklager formuleringsfejl.

Hvis det er uhensigtsmæssigt med en konstant F, så kan F = 507,6 antages.

#4

Du forsøger altså at løse ligningen

2F + 4Fcos(θ) = 2,848F + 0,64Fsin(θ)  ?

Man kan jo så dividere F bort til

2 + 4cos(θ) = 2,848 + 0,64sin(θ) , eller

4cos(θ) - 0,64sin(θ) = 0,848

Man dividerer med s = (4² + 0,64²)^1/2 til

(4/s)·cos(θ) - (0,64/s)·sin(θ) = 0,848/s , og dermed

cos(λ)·cos(θ) - sin(λ)·sin(θ) = 0,848/s , dvs

cos(λ+θ) = 0,848/s , og altså

λ+θ = cos^-1(0,848/s) + 2π·p eller λ+θ = 2π - cos^-1(0,848/s) + 2π·p   (p ∈ Z )

hvor

cos(λ) = 4/s og sin(λ) = 0,64/s .

Man får λ = 0,158655 , og dermed

θ = 1,201244 + 2π·p eller θ = 4,764631 + 2π·p     (p ∈ Z )

I intervallet [0;π/2] er der så kun løsningen

θ = 1,201244 rad = 68,8262º

#5

Hvordan kom du på s = (4² + 0,64²)^1/2 funktionen?

Jeg kan se, at du definerer cos(λ) = 4/s og sin(λ) = 0,64/s. Hvordan kan du se det?

#6

Det er jo en standardteknik til at løse en ligning af formen

      a·cos(θ) + b·sin(θ) = c

Man dividerer med s = (a² + b²)^1/2 , s ≠ 0 . Derved sikrer man sig, at |a/s| ≤ 1 og |b/s| ≤ 1 , og at
(a/s)² + (b/s)² = 1 , hvorfor der i intervallet [0;2π] findes netop 1 værdi λ med cos(λ) = a/s og sin(λ) = b/s , og dermed kan man skrive ligningen

      cos(λ)·cos(θ) + sin(λ)·sin(θ) = c/s ,

der via additionsformlerne bliver til

      cos(θ - λ) = c/s ,

der jo let kan løses.

#7

Hvorfor vil vi netop sikre det du skriver?

#8

Fordi der jo skal gælde cos²(λ) + sin²(λ) = 1 .

#9

Det er korrekt, men hvordan kan du på forhånd sige, at der kun er én værdi λ i intervallet [0;2π]? Hvordan kan du konkludere det?

Jeg tror, at du har lavet en tastefejl i #7. Der skal tilsyneladende stå cos(θ + λ) = c/s, som du også har skrevet i #5.

#10

Fordi man jo fikserer både cos(λ) og sin(λ) . Slår man ned på et punkt på enhedscirklen, er der jo en entydig retningsvinkel for dette punkt (modulo 2π).

Nej, det er korrekt i #7. I #5 blev fortegnene anderledes for at tage hensyn til de -(0,64/s) , hvor jeg jo definerede sin(λ) = 0,64/s . Jeg valgte blot en lidt anden definition i #7. Princippet er jo det samme.

#11

Hvad gør du her og hvorfor?:

λ+θ = cos^-1(0,848/s) + 2π·p eller λ+θ = 2π - cos^-1(0,848/s) + 2π·p   (p ∈ Z )

#12

Der løses jo ligningen

cos(λ+θ) = 0,848/s .

Man benytter

cos(x) = y ⇒ x = cos^-1(y) + 2π·p ∨ x = 2π - cos^-1(y) + 2π·p

#13

Jeg kunne altså godt skrive cos(λ - θ), hvor sin(λ) = 0,64/s?

Det er måske irrelevant, idet jeg slet ikke bruger det ovenestående udtryk til noget?

#14

Nej, for med definitionen cos(λ) = 4/s og sin(λ) = 0,64/s bliver ligningen jo

      cos(λ)·cos(θ) - sin(λ)·sin(θ) = 0,848/s

og dermed

      cos(λ+θ) = 0,848/s .

Hvis du ikke bruger det til noget, hvordan løser du så ligningen?

#15

Du har ret. Jeg blandede rundt i fortegn.

Så hvis intervallet lød [0;2π], så skulle jeg kigge på både

λ+θ = cos^-1(0,848/s) + 2π·p og

λ+θ = 2π - cos^-1(0,848/s) + 2π·p   (p ∈ Z )

for at finde θ - ikke?

#16

Man skal jo så, for hver gren, begrænse sig til den værdi af p, der giver en løsning i intervallet [0;2π] , som det blev gjort i #5, hvor værdien for p = 0 giver de to løsninger i intervallet [0;2π] .

#17

Går ud fra, at du med "gren" mener dét du har stående i #13 sidste linie.

p skal desuden være et helt tal, hvis det skal gå op.

Tak for hjælpen.

2F + 4Fcos(θ) = 2.848F + 0.64Fsin(θ)

2 + 4cos(θ) = 2.848 + 0.64sin(θ)

cos(θ) = (0.848 + 0.64sin(θ))/4

√(1 - sin²(θ)) = (0.848 + 0.64sin(θ))/4

1 - sin²(θ) = ((0.848 + 0.64sin(θ))/4)²

1 - sin²(θ) = 0.0256sin²(θ) + 0.06784sin(θ) + 0.044944

-1.0256sin²(θ) - 0.06784sin(θ) + 0.955056 = 0

...   lad k = sin(θ)

-1.0256k² - 0.06784k + 0.955056 = 0

    k = 0.932489  ∨  k = -0.998636

...   dvs 0.932489 = sin(θ)   ∨  -0.998636 = sin(θ)

#18

Ja, det er korrekt. Ja, p skal være et helt tal, hvilket jo netop er angivet med (p ∈ Z ).