Analytisk geometri i 3D

For at finde kuglens ligning, bruger du det kendte centrum, (x-0)+(y-0)+(z-5)=r2

Så indsætter du punktet P for at bestemme r.

En normalvektor til tangentplanen er PC, og du kan nu opstille ligningen.

I planen α kan du aflæse normalvektoren fra den opgivne ligning, som samtidig er retningsvektoren for den rette linie gennem Q og C. Der hvor linien og kuglen skærer hinanden finder du punktet Q.

Kommentar til spørgsmål b.

Metoden giver 2 skæringspunkter. Den rigtige løsning kan findes ved at kontrollere hvilken af punkterne, der ligger i planen

b) Kuglens radius r fandstes under a) til r = [ 2² + (-1)² + (3-5)² ]^1/2 = 3 .

Planen α med ligningen 3x + 6y -6z +3 = 0 er en tangentplan til kuglen. Vektoren n = (1 ; 2 ; -2) er derfor en normalvektor til planen α . Stedvektoren til røringspunktet Q kan derfor findes som

OQ = OC ± r · n/|n|

hvor fortegnet vælges, således at punktet Q ligger i planen α . Vi ser, at

OQ = OC ± n , dvs

OQ = (0 ; 0 ; 5) + (1 ; 2 ; -2) = (1 ; 2 ; 3) eller OQ = (0 ; 0 ; 5) - (1 ; 2 ; -2) = (-1 ; -2 ; 7) .

Af disse to muligheder er det kun punktet (1 ; 2 ; -2) , der ligger i planen α .

#3

 Tastefejl, - det skal være (1 ; 2 ; 3)