geometri, linjer der skærer

Jeg er ikke helt klar over opgaven. Menes der at hvilken linje du udtager af den første bortset fra en enkel så kan du altid finde en i den første  der skærer den pågældende linje elr menes der at ligegyldig hvilken linje du udtager fra den første familie, så skærer den alle linjer i den anden bortset fra 1 ?

Test først om cos(t) = 0 eller sinus( t) = 0 giver problemer. for at tage cos(t) = 0. Det giver indsat i den første ligning y = 1 og i den anden ligning  y+z=0. Indsat i den anden families sidste ligning giver det 0 = 0. Indsat i den første ligning får du en ligning hvor du kan bestemme p så der er en løsning.

Er hverken cos(t) og sin(t) 0 kan du dividere den første ligning med cos(t) og den anden med sin(t). Det giver en bestemmelse af x+y og x-z som funktion af y og t. Det kan du så sætte ind i den anden families ligning, hvor du så har 2 ligninger til bestemmelse af y. Løs dem og se om det fører til  samme løsning

Den første familie af linier

(x-z)cos(t) = (1-y)sin(t)       ,        (x+z)sin(t) = (1+y)cos(t)

fremkommer ved skæring mellem de to planer med ligningerne

(x , y-1 , z) • (cos(t) , sin(t) , -cos(t)) = 0     og    (x , y+1 , z) • (sin(t) , -cos(t) , sin(t)) = 0 ,

hvor t er en reel parameter, der fremstiller en familie af linier. Da de to planers normalvektorer ikke er parallelle for nogen værdi af t, skærer planerne hinanden i en ret linie, hvis retningsvektor er bestemt ved

s(t) = (cos(t) , sin(t) , -cos(t)) × (sin(t) , -cos(t) , sin(t)) = (sin²(t) - cos²(t) , -2cos(t)sin(t) , -1)
                                                                                     = -(cos(2t) , sin(2t) , 1)

Hvis sin(2t) ≠ 0 , er punktet (1 , 0 , cos(2t))/sin(2t) et punkt på skæringslinien.

Hvis sin(t) = 0, indeholder skæringslinien punktet (0 , -1 , 0) og den har retningsvektoren (1 , 0 , 1).

Hvis cos(t) = 0, indeholder skæringslinien punktet (0, 1 , 0) og den har retningsvektoren (1 , 0 , -1).

--------------------------------------------------------

Den anden familie af linier

(x-z)cos(p) = (1+y)sin(p)        ,        (x+z)sin(p) = (1-y)cos(p)

fremkommer tilsvarende ved skæring mellem de to planer med ligningerne

(x , y+1 , z) • (cos(p) , -sin(p) , -cos(p)) = 0 og (x , y-1 , z) • (sin(p) , cos(p) , sin(p)) = 0 ,

hvor p er en reel parameter, der fremstiller en familie af linier.

Da de to planers normalvektorer ikke er parallelle for nogen værdi af p, skærer planerne hinanden i en ret linie, hvis retningsvektor er bestemt ved

r(p) = (cos(p) , -sin(p) , -cos(p)) × (sin(p) , cos(p) , sin(p)) = (-sin²(p) + cos²(p) , -2cos(p)sin(p) , 1)
                                                                                           = (cos(2p) , -sin(2p) , 1) .

Hvis sin(2p) ≠ 0, er punktet (1 , 0 , cos(2p))/sin(2p) et punkt på skæringslinien.

Hvis sin(p) = 0, indeholder skæringslinien punktet (0 , 1 , 0) og den har retningsvektoren (1 , 0 , 1).

Hvis cos(p) = 0, indeholder skæringslinien punktet (0, -1 , 0) og den har retningsvektoren (-1 , 0 , 1).

Det er herved muligt at undersøge skæring mellem linier i t-familien med linier i p-familien.

prøv at se på linjernes skæring med x-z planen. De er karaktericeret ved at y=0. Man kan så finde de tilsvarende x og y koordinater ved at løse det fremkomne ligningssystem. Der ses at for cos(t) = 0 eller sin(t) = 0 er der ingen løsninger. Linjerne er parallelle med x-z planen. For andre værdiert af t er der derimod en entydig løsning. Sæt p = t, y = 0  i  ligningerne for den anden ligning. De bliver identiske med ligningen fra den første families ligninger og dermed samme løsninger. Der gælder altså at for en linje i den første familie med  t ≠p*π/2, p ∈ N vil der altid findes en linje i den anden familie, som skærer linjen i x-z planen