Volume beregning.

Man sætter x = r·cos(θ) og y = r·sin(θ) og beregner rumfanget som

V = ∫∫_A z·dA ,

hvor A er cylinderens grundflade, cirklen med radius 2 og med centrum i (0,0). Man får da

V = ₀∫² ₀∫^2π (r·cos(θ) + r·sin(θ) + 4) r dθ dr = 2π · ₀∫² 4r dr = π·4·2²

Det er ikke så overraskende, at den skrå plan deler cylinderen i to symmetriske dele, så at den skråt afskårede cylinder har samme rumfang som den tilsvarende regulære cylinder med endeflade, hvor den skrå plan skærer z-aksen.

Skal lige være sikker, så det er planen z, som integreres, hvor x og y omskrives til cylinder koordinater.  Også skal man tage udgangspunkt i cirkelligningen, men det betragter vi vel som cylinderligningen?

#2

Jeg har nu blot brugt polære koordinater i xy-planen. Man opsummerer alle de infinitesimale kasser med grundflade dA og højde z over cirklen med centrum i (0,0) og radius 2, dvs for 0 ≤ r ≤ 2 .

Okay, så det er nemmere at bruge end cylinder koordinater?

#4

Hvis du vil regne det, som du foreslog det som et volumenintegral, kommer man jo ud i at grænserne for nogle af de variable afhænger af andre variable, mens det er ganske simpelt her at beregne rumfanget som rumfanget under en flade.