plan

Det hører altså under matematik ikke under afsætning.

Find en normalvektor til planen. Find den spidse vinkel u mellem normalvektoren og retningsvektoren for l. Den søgte vinkel er så 90º -u.

Find et punkt P på linien. det er principielt ligegyldig hvilken men det nemmeste får du ved at sætte t = 0. PQ er er så en vektor parallel med planen. Det samme gælder retningsvektoren v for linjen. v×PQ er så normalvektor til planen

Er lidt ny her på siden, glemmer at ændre emnet.

For at finde normalvektoren til planen, skal jeg så ikke have et punkt? Blander lidt rundt på plan og linje.

Hvad vil normalvektoren og retningsvektoren hedde for min plan? Og hvordan er det du finder den helt præcis, er hoppet lidt fra efter vi er komme ind i det tredimensionelle. Du skriver fin den spidse vinkel u mellem normalvektoren og retningsvektoren for l, vil det så være (vinkel mellem linje og plan, eller vinkel mellem line og punkt) 

planens normalvektor aflæser du til

                                      n = [3,-1,1]   ⇔   |n| = √(11)
og linjens
retningsvektor
aflæser du til
                                      r = [2,1,5]   ⇔   |r| = √(30)
                    

så er det vel ligningen nedenunde rjeg skal bruge:

cos(u)= (r*n) / (|r|*|n|)

Når jeg skal gange de to vektorer, er det så ikke prikproduktet jeg skal bruge? eller det kun i en plan man kan bruge den?

Du kan godt bruge prikproduktet

på opfordring:

    vinkel v mellem planens normalvektor og linjens retningsvinkel

                cos(v) = (n•r) / (|n|·|r|) = ([3,-1,1]  • [2,1,5]) / (√(11)·√(30)) =

                        (3·2 + (-1)·1 + 1·5) / √(330) = 10 / √(330) = 0,550482

               v = cos^-1(0,550482) = 56,60º som er komplementvinklen til den søgte vinkel φ mellem linje og plan

               φ = 90º - 56,60º = 33,40º

Tak, ville være rart, hvis I også kunne hjælpe mig med anden del af opgaven.

se den sidste del af #1

Fra #1 Find et punkt P på linien. det er principielt ligegyldig hvilken men det nemmeste får du ved at sætte t = 0. PQ er er så en vektor parallel med planen. Det samme gælder retningsvektoren v for linjen. v×PQ er så normalvektor til plan

Det jeg har gjort, er at sætte t=0 som anbefalet.

(x,y,z)=(1+2*0,0+1*0,-1+5*0)=(1,0,-1)

Er dette korrekt indtil videre? mit punkt P på linjen kommer til at hedde P(1,0,-1).

PQ=(1-1,2-0,3-(-1))=(0,2,4)

PQ = parallel med planen.

Hvordan finder jeg retningsvektoren for linjen?

Og krydser du så retningsvektoren v med PQ? (går jeg ud fra, når du har skrevet " x "  imellem vxPQ.

Hvordan finder du så ligningen for planen ud fra normalvektoren? (kan godt finde normalvektoren ud fra en ligning men ikke omvendt, da man ofte har noget lagt til eller trukket fra i en ligning)

Retningsvektoren for linjen kan du aflæse af parameterfremstillingen  for linjen

Ja du skal beregne krydsproduktet  for at finde normalvektoren

Lad S(x,y,z) være et vilkårligt punkt i planen, P(eller Q) et kendt punkt i planen  og n normalvektoren Der gælder så

PS·n = 0 er en ligning for planen

retningsvektoren må være r(2,1,5)

Du har forvirret mig lidt med det der S, du kaldte det selv P og Q i #1.

Vi kalder det vilkårlige punkt på linjen S(1,0,-1) istedet for P.

Q(1,2,3) givet i opgaven, punkt på planen. kalder vi nu P(1,2,3)

PS=(0,2,4)

rxPS=(-6,-8,4)

Kan ikke lige se hvordan... du skrev i #1 at "v×PQ er normal vektor til plan".

Men skriver så i #10 at PS*n=0 er ligning for planen.

vil det betyde at: PS * rxPS = 0 er ligningen for planen? Og hvordan skriver du vektoren om til en ligning, er helt forvirret nu. Har i forevejen svært ved vektor i rummet.

S er et nyt punkt og et vilkårligt punkt i planen. Det punkt har intet med P eller Q at gøre. Det skal ikke bruges til at beregne n med. Da det er et vikårligt punkt i planen har det koordinaterne (x, y, z). En vektor der går fra et kendt punkt i planen til S er parallel med planen så der gælder PS·n = QS·n = 0. Hvis du indsætter koordimaterne for punkterne får du derfor  planens ligning

Så vidt jeg kan se har du fundet den rigtige normalvektor( jeg har ikke efterregnet krydsproduktet) Du skal bare lade være med at rode punktet S ind i det.

Jeg har svært ved at forstå det, kan du ikke vise mig nogle udregninger? Det er nemmere at forstå ud fra det. Og du må gerne sige hvor det er jeg har gjort forkert hvis det er jeg har gjort forkert.

Er med på at du ikke lige har efterregnet mit krydsprodukt. Men det kunne være rart hvis du lige ville bekræfte hvad vi kalder de forskellige vektor hvad. Er ikke lige med på hvad det er du vil indsætte,  for at få planensligning.

Er hoppet fra, efter vi har sagt "v×PQ er så normalvektor til plan"

Det du har gjort forkert er at du har rodet S helt forkert ind i det. S skal kun bruges når du skal opstille ligningen for planen. Er  P(x₀, y₀. z₀) et kendt punkt i planen  er PS = (x-x₀, y-y₀, z-z₀)  Planens ligning får du så af  PS·n = 0

Hvordan ganger du så normal vektoren sammen med PS?

på opfordring:

                                               PQ = [0,2,4]  

èn normalvektor n₁ til β
 
                  er
                                                  n₁ = PQ x r = [6,8,-4] = 2·[3,4,-2] = 2·n₂
hvorfor

en anden normalvektor n₂
til β
                  er
                                                  n₂ = [3,4,-2]

når S(x,y,z) er et vilkårligt punkt i β
gælder
                                   β:   {S(x,y,z) | n₂ • PS = 0}

                                         [3,4,-2] • [x-1,y,z+1] = 0
 

                                   β:  3x + 4y + 2z - 1 = 0