Analytisk geometri mellem kugle og linje

skæring kræver

                                   x² + 2x + y² - 6y = 15    og   y = (1/2)x + 1

hvorfor
                                   x² + 2x + ((1/2)x + 1)² - 6·((1/2)x + 1) = 15             som reduceres til

                                   x² - 4 = 12
 

Hvordan bestemmer du y ?

nemmest
                    af
                           y = (1/2)x + 1 = (1/2)·(-4) + 1 = -1

                           y = (1/2)x + 1 = (1/2)·(4) + 1 = 3                   da fællespunkterne ligger på begge grafer

Jeg mener, hvordan bestemte du y til at være y = (1/2)x + 1?

Hvilke ligning løste du?

   isoler y i
                           x - 2y + 2 = 0

Har løst opgave a)

Hvad gør jeg i opgave b) ? Jeg har ikke været ude for, at skulle bestemme en ligning for en tangent som tangere en cirkel.

røringspunktet (-4,-1)
ligger på nedre
halvcirkel af
                                          (x+1)² + (y-3)² = 5²

dvs med ligningen

                                         f(x) = y = 3 - √(25 - (x+1)²)       

og
                                         f '(x) = -(1/(2√(25 - (x+1)²))) · (-2(x+1))  =  (x+1) /√(25 - (x+1)²)

                                         f '(-4) = (-4+1) /√(25 - (-4+1)²) = -3 / √(16) = -(3/4)

tangentligning i
(-4,-1):
                                         y = f '(-4)·(x-(-4)) +(-1)

                                         y = -(3/4)·(x+4) - 1

                                         y = -(3/4)x - 4

                               

alternativt
           en cirkel med ligningen

                                                      (x-a)·(x-a) + (y-b)·(y-b) = r²    
har i (x_o,y_o)

           tangentligningen
                                                      (x_o-a)·(x-a) + (y_o-b)·(y-b) = r²   
som specifikt giver
                                                      (- 4+1)·(x+1) + (-1-3)·(y-3) = 25

                                                       -3·(x+1) - 4·(y-3) = 25

                                                       4·(y-3) = -3x - 3 - 25

                                                       4·(y-3) = -3x - 28

                                                       y - 3 = -(3/4)x - 7

                                                       y = -(3/4)x - 4

korrekt overskrift:
                                 analytisk plangeometri _cirkel-linje

alternativ_2:

           når P_o = (-4,-1)

           haves, at vektor
                                          P_oC = [3,4] er normalvektor til tangenten i P_o

           når Q = (x,y) er et vilkårligt punkt på tangenten er vektor

                                          P_oQ = [x+4,y+1]

          retningsvektor for tangenten i P_o
 
punkterne på tangenten i P_o
kan derfor beskrives

                      t:   {Q(x,y) | P_oC•P_oQ = 0}

                                         [3,4] • [x+4,y+1] = 0

                                         3(x+4) + 4(y+1) = 0

                                         3x + 12 + 4y +4 = 0

                                         3x + 4y +16 = 0

                                         4y = -3x -16

                                         y = -(3/4)x - 4