Differentialligninger og komplekse funktioner

En lang række differentialligninger behandles bedst ved at benytte analysemetoder inden for de komplekse tals legeme. Således ses sammenhængen mellem løsningerne til visse typer af differentialligninger lant bedre ved at benytte komplekse tal. De reelle funktioner sin(x), cos(x), e^x er alle specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktion e^z . Det er helt analogt med (og også beslægtet med) at bestemmelse af rødderne i polynomier bedst forstås ved at benytte kompleks analyse.

Ofte kan man omskrive en differentialligning med komplekse tal til to koblede differentialligninger med reelle tal og i visse tilfælde vice versa. Fx vil kan man løse den komplekse ligning dz/dt = c dz/dt, og så bruge dette til løse den reelle anden ordens differentialligning d^2x/dt^2+x=0, ved at afkoble disse differentialligninger.

Dette burde blive behandlet i en værd ordentlig bog for matematikere omkring differentialligninger. Disse bøger vil dog være på universitets niveau, som ofte vil kræve forståelse af analyse og lineær algebra, så du vil nok finde dem meget udfordrende. For ovenstående eksempel skal man fx benytte en matrix. En bog som viser dette, og hvor eksemplet er en opgave er,
Ordinary Differential Equations; An Introduction for Mathematicians af Jacob Schach Møller.
Denne bog er dog på et meget højt niveau og bruges først på anden år på matematik ved AU. Jeg ved selvfølgelig ikke lige i hvilken sammenhæng dette interesserer dig, men klar anvendelse af komplekse tal og differentialligninger er Schrödinger ligningen.  Schrödinger ligningen er en komplekse anden ordens differentialligning, som er essentiel for forståelse af kvantemekanik i fysik.